noch nicht. Die größten Mathematiker haben dieß gefühlt und ſind deßhalb manchmal von der Höhe der Wiſſenſchaft herabgeſtiegen, um ſich mit anſcheinend ſehr einfachen Fragen zu beſchäftigen, die immer or zu beſeitigende Schwierig⸗ keiten darboten. Ihre Anſtrengungen, durch die Methode der Coordinaten ge⸗ leitet, gaben der Geometrie jene Allgemeinheit in der Auffaſſung der Verhältniſſe körperlicher Dinge, wie ſie vorher nur der analytiſchen Geometrie eigen war.
Man kann nänlich in der Geometrie zu denſelben Konſequenzen wie durch die Algebra gelangen, wenn man bei dem Betrachten vor irgend welchen räum⸗ lichen Dingen von ihren numeriſchen und abſoluten Werthen abſieht, alſo alle— mal, wenn man das Raiſonnement auf unbeſtimmte Größen oder das implizite Raiſonnement anwendet. Dies kommt beſonders in der Geometrie vor, wenn die Beziehungen, die die Theile einer Figur verbinden, ſich vervielfältigen, weil es dann nicht mehr möglich iſt, die Größe und Lageordnung dieſer Theile zu unterſcheiden. Das iſt noch der Fall wenn gewiſſe dieſer Theile der Gegenſtand einer Unterſuchung ſind, die in Betreff der Figur angeſtellt iſt, oder wenn man ſie als unbekannt in Bezug auf Größe und Lage nimmt, und das iſt auch der Grund, warum der Gang der Alten, den ſie analytiſch nannten, nicht gänzlich dieſer Macht und ieer Allgemeinheit entbehrt, welche der Algebra eigen ſind. Daher und hauptſächlich daher dieſe Allgemeinheit in der Auffaſſung und dieſe große Ausdehnung der Geometrie, welche die Gegenſtände im Raume betrachtet.
In der gewöhnlichen Geometrie, die man die Syntheſe nennt, ſind die Prinzipien ganz andere. Der Gang iſt furchtſam und ſtreng vorgeſchrieben. Die Figur iſt beſchrieben; nie verliert man ſie aus dem Auge; immer betrachtet man reelle Größe und Formen und nie zieht man Konſequenzen, die ſich nicht der Einbildung oder dem Auge durch fühlbare Gegenſtände darſtellen ließen. Man hält inne, ſobald die Objekte aufhören eine poſitive und abſolute, eine phyſiſche Exiſtenz zu haben. Die Strenge iſt ſelbſt ſo weit getrieben, daß ſie ſelbſt nicht die Konſequenzen eines Raiſonnements zuläßt, welches auf die allgemeine An— ordnung der Theile einer Figur zum Zwecke einer gleich allgemeinen Anordnung dieſer Theile gerichtet iſt, einer Anordnung, die jede mögliche Analogie mit der erſteren hätte; mit einem Worte: in dieſer in enge Formen eingeſchränkten Geometrie iſt man gezwungen, die ganze Reihe von primitiven Raiſonnements wieder aufzunehmen von dem Augenblicke an, wo eine Linie, ein Punkt von der Rechten zur Linken eines Elements übergegangen ſind.
Ein Fortſchritt kann hier ſchon in den Elementen gemacht werden. Man muß eben die Beziehungen der Lage von Punkten zu einander, zu graden Linien und zur Kreislinie, die Gegenſätze von Strecken einer Geraden, von Winkeln und Flächen einer Ebene und von Raumfiguren feſtſtellen, wie es theilweiſe z. B. Herr Dr. Marx in ſeinen„Elementen der Geometrie“ im Programme des Wormſer Gymnaſiums vom Jahre 1866 gethan 4*) Die Unterſcheidungen der Strecken und Bogen BA und A B, der Winkel und Flächen A B C und CB A, der Flächen und Räume AB CD, CBADu. ſ. w., wie ſie als Grund⸗ lage zu den Fundamentalſätzen in dem Werke über neuere Geometrie von Chasles
*) Dr. Marx erkennt in dieſer Arbeit auch die Mangelhaftigkeit der Euklid'ſchen Pararellelentheorie an, die ſich beſonders in der Stereometrie zeigt, und ſtützt dieſelbe auf den Bertrand'ſchen Satz: Das Verhältniß eines Streifens, d. h. des Theiles einer Ebene, der zwiſchen zwei Parallelen liegt, zur Ebene verſchwindet.