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Ein ſehr auffälliger Charakter der Geometrie der Lage, die, wie ſchon ge⸗ ſagt, von den metriſchen Beziehungen der Theile einer Figur gar nicht abhängt, iſt, daß beinahe alle Lehrſätze doppelt vorhanden ſind, d. h. daß in der Planimetrie jedem Lehrſatz nothwendiger Weiſe ein anderer entſpricht, der ſich aus dem erſteren ableitet, indem man anſtatt der Worte Punkte, Grade und umgekehrt ſetzt. So entſteht aus dem Satze: Durch zwei Punkte iſt die Lage einer Graden beſtimmt der reciproke: Zwei Graden beſtimmen die Lage eines Punktes. In der Stereo⸗ metrie ſind es die Worte Punkte und Ebenen, die einander entſprechen, und die man vertauſchen muß, um von dem einen Lehrſatz zu dem reciproken zu gelangen. Einige der bekannteren Lehrſätze, die Lage von Punkten, Graden und Ebenen betreffend, ſind:

Durch zwei Graden a, b, die auf einer Ebenen liegen, iſt ein Punkt a b beſtimmt. Der Gegenſatz heißt: Durch zwei Graden a, b, die einen Punkt gemein haben, iſt eine Ebene a b beſtimmt.

Durch zwei Richtungen iſt eine Stellung, durch zwei Stellungen eine Richtung beſtimmt.

Durch drei Punkte A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen, iſt die Lage einer Ebene A B GC beſtimmt. Durch drei Ebenen K, B, C, die nicht eine Grade enthalten, iſt ein Punkt A B C beſtimmt.*)

Bei dieſen Sätzen iſt es gleichgültig, ob die Punkte, Graden, Ebenen in endlicher oder unendlicher Ferne liegen. Bekannt iſt das Geſetz, nach welchem dieſe ſich entſprechenden Sätze gebildet ſind, als das der Dualität, Reciprocität oder Polarität, weil aus einem Satz der ihm zugeordnete reciproke oder polare entſteht. In metriſcher Beziehung wurde dieſes Geſetz zuerſt am ſphäriſchen Dreieck und ſeinem Polardreieck wahrgenommen; graphiſche Beziehungen zwiſchen ebenen und räumlichen Figuren wurden nach ihm zu Anfang unſeres Jahrhunderts aufgeſtellt, und das Geſetz der Dualität hat dann zur Entdeckung einer Menge von Eigenſchaften der betreffenden Gebilde geführt.

Viel mehr noch verdankt aber die Geometrie ihre Fortſchritte den Prinzipien und Methoden, wie ſie bei Begründung der Lehren der deſkriptiven Geometrie zur Geltung kamen. Als Monge die deſkriptive Geometrie ſchuf, hatte er als Grundlage für feine Arbeiten die Prinzipien der Stereotomie, die viel zu be— ſchränkt waren, als daß er auf ſie ſeine neue, allgemeine Geometrie hätte grün⸗ den können. Er mußte alſo noch ſeine Zuflucht zur analytiſchen Geometrie nehmen, da dieſe Disciplin ganz geeignet iſt, den geometriſchen Auffaſſungen die Allgemeinheit zu geben, die weſentlich in ihrer Natur liegen. Uebrigens zeigten die Werke Monge's, daß die deſkriptive Geometrie ſich ſelbſt genug ſei, daß ſie ganz die Höhe der Auffaſſung der algebraiſchen Analyſis erreichen könne. So wendete ſich ihr die ganze Aufmerkſamkeit zu. Man erkannte, daß die Doktrin, auf der ſie ruhe, gewiſſes ihr Eigenthümliches vorausſetze, was nicht leicht zu erlangen iſt, ſelbſt nicht mit Hülfe der analytiſchen Geometrie.

Die darſtellende Geometrie kann nämlich die körperlichen Gebilde nur betrachten, indem ſie die Fragen, welche ſich darauf beziehen, auf ſolche zurück⸗ führt, welche in der Ebene gezeichnete Figuren betreffen, und das iſt es eben, was ihre ganze Schönheit und Nützlichkeit ausmacht. Sie ſetzt alſo voraus, daß die ebene deſkriptive Geometrie fertig ſei, und ſie war es noch nicht, und iſt es

*) Wegen weiterer Beiſpiele ſiehe Baltzer, Stereometrie S. 143. 4*