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Die Konstanten in der Reihe(29) können als Funktionen der Zeit t betrachtet werden; nur bei do ist dies auszuschließen, da sonst 32 unendlich vieldeutig würde, was wegen(18), in

dem alle übrigen Größen eindeutig sind, nicht zugelassen werden kann. Bei co trifft dieses Bedenken nicht zu, da nur der reelle Wert des Logarithmus in betracht kommt. Die Flächen — Const.(hier bei der Bewegung in der Ebene Linien) heißen Flächen(resp. Linien) gleichen Geschwindigkeitspotentials; die Bezeichnung Niveauflächen(resp. Niveaukurven) wird dafür gleichfalls angewandt, kann jedoch, wenn die Flüssigkeit einer Kraft mit einer Kräftefunktion unterworfen ist, zu Verwechslungen Veranlassung bieten- Die Linien, in denen sich die einzelnen Flüssigkeits- teilchen bewegen, heißen Stromlinien; sie sind dadurch charakterisiert, daß sie überall auf den Flachen, resp. Linien gleichen Geschwindigkeitspotentials senkrecht stehen. Sei für den Fall, daß von’t unabhängig ist, die Schar der Stromlinien unserer ebenen Bewegung durch „(x, y)— Const. gegeben, so muß wegen des Senkrechtstehens die Gleichung gelten % S (30) zt IX 5* Ist nun (31)(, y)= fr(X+ iy)+† ke C— 1 y), so genügt

632) 9 G. y)= 1 lt † 19)— f⸗— iy)

der Bedingung(30), wie durch Nachrechnen leicht zu verifizieren ist. Hiernach können wir zu dem Geschwindigkeitspotential(29) unmittelbar die Gleichung der Stromlinien bilden; es ergiebt sich (33) v G.,)= a y+ 2aexy+ as(3X*y— Ys)+... — bo— bi x— ba(X*— y“)— bs(X— 3 Xy2)—... y— b ci(— b)

†e aretg= a*) N dy)

— 2 do log[ 4). G b)l— ſ o Da aber w(x, y) von derselben Art wie„(X, y) ist und nur andere Koeffizienten aufweist, so kann es selbst als Geschwindigkeitspotential angesehen werden, zu dem wegen der Symmetrie von(30) die Stromlinien(x, y)— Const. gehören. Die durch die Geschwindigkeitspotentiale& und„

bestimmten Bewegungen heißen konjugiert; die Stromlinien der einen sind die Linien gleichen Geschwindigkeitspotentials der andern.

Wenn feste Wande einen Teil der Grenze der Flüssigkeit bilden, so müssen sie aus Stromlinien zusammengesetzt sein. Eine freie Grenze kann ebenfalls nur aus Stromlinien bestehen; außerdem müssen an ihr bestimmte Druckbedingungen befriedigt werden. Bei einer inkompressibeln Flüssigkeit können wir der Einfachheit halber annehmen, daß an der freien Oberfläche p— 0 ist.*) Nun wird sich spàter schon bei ziemlich einfachen Bewegungen, die unter Verhältnissen vor sich gehen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, ein Zusammenfallen von Stromlinien mit der Fläche p o nicht bewerkstelligen lassen. Hieraus ist nun aber nicht der Schluß zu ziehen,

*) Man könnte auch annehmen, daß die Flüssigkeit erst bei einem bestimmten negativen Druck zerreißt; andrerseits kommt der Luftdruck in Betracht.