— 10—

also die Bewegungen in allen Parallelebenen zur xy-Ebene kongruent sind und derart verlaufen, daß allen Punkten, die gleiches x, y aufweisen, derselbe Bewegungsvorgang zukommt. Wir haben somit schließlich nur Flüssigkeitsbewegungen in einer Ebene zu behandeln.

Die Kontinuitätsgleichung nimmt hier die Form an 22½ 1 ½—: (25) 5X2 † 8y²— 0; man benutzt gewöhnlich, um eine beliebige Menge von Lösungen anzugeben, den bekannten Satz, daß der reelle und der reine imaginäre Teil einer analytischen Funktion von+ iy der Gleichung(25) genügen. Statt die bekannten Entwicklungen zu reproduzieren, wollen wir lieber den Gegenstand sofort ganz allgemein in Angriff nehmen.

Das allgemeinste Integral von(25) hat bekanntlich die Form

(26)%= fi(X+ iy)+ f(X— iy), worin fi und fe beliebige Funktionen sind, deren Koeffizienten in unserem Falle auch die Zeit t enthalten können. Soll die Darstellung einer möglichen Flüssigkeitsbewegung liefern, so

müssen 65 und a9 fr reelle x und y, wenigstens soweit diese in den Bereich der vielleicht

abgegrenzten Flüssigkeit fallen, reell sein. Außerdem ist bei Flüssigkeitsbewegungen der ge- wöhnlichen Art zu fordern, daß die Geschwindigkeitskomponenten 34 und 9 für jeden Zeit-

punkt t nur einen Wert liefern, dasich sonst der Strom selbst durchkreuzen müßte. Wir schliessen hieraus, daß innerhalb des Flüssigkeitsbereiches— und 5 eindeutige Funktionen von x und y sind, was nur dann zutrifft, wenn auch fi und fs eindeutige Funktionen ihrer Argumente sind. % braucht selbst keine eindeutige Funktion von x und y zu sein(und also ebenso fi und fa),

ihre verschiedenen Werte dürfen sich aber nur um Konstanten unterscheiden.

Zunâchst möge sich das Flüssigkeitsgebiet über die ganze Ebene ausdehnen; 59 und 32 29§y müssen dann in der ganzen Ebene eindeutig sein. Unendliche Werte dieser Größen sollen zuge-

lassen werden, jedoch nur solche von endlicher Ordnung. Bezeichnen die Ak, Bx, Ck, Dy, a, b u. s. w. durchaus reelle Werte, so muß alsdann fi“(c+ iy) die Form haben

fi“(X+ iy)= Ao+ i Bo+(A+ i Bi)(X+† iy) +(A:+ i B²)+ i y)?+...

a& † iDn(+ i Da LP E ſe.. + Ei+ i Fr Ez+ i F⸗

F-T=a ihh...

f2“— iy) muß dieselben Unendlichkeitspunkte haben wie fi(+ iy), also X= a, y= b u. s. w., da sich das Imaginäre sonst nicht wegheben würde, hat also die Form

fs“— iy)= Ao“+ i Bo+(Ai“+ i Bi“)— iy)+(A2+ i B2)(— iy)²+ † Ci“+ i Di“ C2“+ i De“

= Bi aefheeh

.».