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daß Funktionen, die sich im übrigen durchaus stetig verhalten, in einzelnen Punkten oder in ganzen Linien unendlich, bezw. unbestimmt werden, hier also eine Stetigkeitsunterbrechung erleiden. Khnlich verhalt es sich mit der Flüssigkeitsbewegung. Ihre Natur bringt es mit sich, daß sie, sonst überall stetig, in einzelnen Linien oder ganzen Flächen ihre Stetigkeit einbüßt. Diese Stetigkeitsunterbrechungen zu untersuchen, betrachte ich als eine Hauptaufgabe der ratio- nellen Hydrodynamik; ihre Lösung dürfte zu bedeutenderen Ergebnissen führen als die Durch- führung spezieller Probleme. Daß sie uns wichtige Resultate für die Bewegungen der Atmosphaäre liefert, wird die Folge zeigen.

Ich glaube es wohl aussprechen zu dürfen, daß gerade die Annahme der„Wirbelfäden“ es verhindert hat, daß man die Gleichungen für die rotationsfreie Bewegung unbedenklich auch auf die Vorgänge in den Wirbeln übertrug und sich öfters bei Thatsachen, die aus den allge- meinen Formeln fließen, mit mangelhaften Näherungsmethoden begnügte. Die folgenden Entwicklungen werden sich im allgemeinen nur auf inkompressible Flüssigkeiten beziehen, da diese viel leichter zu behandeln sind, als die kompressibeln. Doch werde ich es nicht unterlassen, gerade bei den fundamentalsten Aufgaben, die für uns die wichtigsten sind, soweit als möglich kompressible Flüssigkeiten in Betracht zu ziehen.

Bemerkenswert ist es, daß ein großer Teil der hier zu untersuchenden Beziehungen bereits im Jahre 1882 von F. Klein in dessen hochinteressanter Schrift: UÜber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale“ erledigt worden ist, ohne daß diese Arbeit, soweit ich es übersehen kann, auf die Weiterentwicklung der Hydrodynamik irgend einen Einfluß ausgeübt hätte. Es erklärt sich dies daraus, daß Klein die hydrodynamischen Entwicklungen lediglich zum Zwecke daran anzuknüpfender funktionaltheoretischer Betrachtungen anstellte. Die Schrift wurde daher wohl lediglich von speciellen Mathematikern und kaum von Physikern studiert. Aber Hydrodynamik und Funktioneutheorie sind eng zusammenhaàngende Gebiete, und derjenige, der mit beiden vertraut ist, wird aus diesem Zusammenhang reiche Anregung und Belehrung schöpfen.

Flüssigkeitsbewegungen, die parallel zu einer Ebene vor sich gehen.

Die Diskontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten (14) A= 0 läßt sich allgemein behandeln. Setzt man die für% erhaltenen Ausdrücke in die übrigen Be- wegungsgleichungen ein, so ergiebt sich, welche Kräfte und Druckkräfte(an den Grenzen) im- stande sind, gerade diese Bewegung zu unterhalten. Wir suchen also, wie dies oft zweckmäßig ist, nicht eine Bewegung, die gegebenen Bedingungen genügt, sondern die Bedingungen, die eine vorgelegte Bewegung ermöglichen.

Besonders einfach gestaltet sich die Untersuchung für den Fall, daß die Bewegung aller Flüssigkeitsteilchen parallel zu derselben Ebene, die wir als xy-Ebene annehmen wollen(die positive xX-Achse sei nach rechts, die positive y-Achse nach oben gerichtet), vor sich geht. Es ist dann w o und die beiden letzten Gleichungen(13) liefern uns das Resultat 5= o,—= o, welches besagt, daß die Geschwindigkeit der Größe und Richtung nach von z unabhängig ist, daß

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