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die transformirten Variabeln implicite mit den ursprünglichen. und mit gleichem Endresultate, eliminiren.

Die Determinanten höheren Ranges gestatten eine an- dere wichtige Anwendung, und zwar auf die Bildung der In- varianten. So ist z. B. die oft vorkommende Invariante der vorerwähnten beiden Formen

In. HI=*+ I2?. IIII— 2. II2. II12= T Iu. II2,

wenn, wie es in der Natur der Formen liegt, Ii= Ier; IIiz — II2l.

Ferner ist z. B. die schon von Aronhold aufgestellte und von ihm mit(a, b, c) bezeichnete Invariante dreier ternärer quadratischer Formen nichts anderes als die kubische Deter- minante III. Ordnung,

2+ I1 IIz. IIIss,

während die von ihm zu ihrer Berechnung angegebenen vier- gliederigen Hilfsausdrücke als deren kubische Minoren er- scheinen.

Ich werde nun allgemein beweisen, dass, welches auch der Grad(ꝗßbꝑT) der homogenen Formen

sein möge, wenn nur ihre Anzahl mit derjenigen der Vari- abeln zunächst übereinstimmt, immer eine simultane Invari- ante der Formen f erhalten wird, wenn man die Determinante höheren Ranges i=+(III..)(II2z..)(III43..)...

bildet. Die Zahl der Formen bestimmt die Ordnung, der um eine Einheit vermehrte Grad dagegen den Rang p der De- terminante.

Um diesen Satz zu begründen, bemerke man, dass z. B. der Cœfficient Imnr... der ersten Form erhalten wird, indem man f’ der Reihe nach in Bezug auf die mte, nte, rte... Vari- abele x differentiirt. Es soll mim der Kürze halber eine Diffe- rentiation nach der mten Variabeln x durch das der Form f“