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Determinanten aufstellen lassen, sei der Kürze halber nur noch folgender angeführt: Setzt man (Imnr...])= dem den. d'...

(II2..⸗)= ds don dor.. (IIImnr...)= d"lm. dosn. d/r...

wobei die den Buchstaben d angehängten m, n, r... nicht, Factoren, sondern Indices vorstellen sollen*), so ist

2+(m.)(II222..), oder =+(d“. d'1. d'r..)(d“². d“². d“z..) d“¹³. d...) =( d4 1 ⁴ νν.) P ¹.

Denn wenn nur die letzte Serie der Indices permu- tirt wird, während die übrigen noch unverändert bleiben, so bildet sich aus dem Anfangsgliede der höheren Determinante. zunächst+ d’n d“²... multiplicirt mit den noch übrigen d'“, d“,... deren vorhergehende Serien noch nicht permutirt sind. Wird nun ähmlicherweise die vorletzte Serie permutirt, so gewinnt man von Neuem dieselbe quadratische Deter- minante als Factor, u. S. W.

Die erste Veranlassung, welche mich auf die Determi- nanten höheren Ranges geführt hat, bildete die Elimination der Variabeln aus einem System höherer Gleichungen, welche ich an einem andern Orte ausführlicher zu behandeln ge- denke. Ich begnüge mich, hier anzuführen, dass die bekannte Resultante der beiden quadratischen Gleichungen

(I1¹). X*+ 2(I¹²) Xy+(I²²) y2= 0 (III¹) X2+ 2(II¹²) Xy+(II22) y2= 0

unter der Form darstellbar ist: [+† II. HI]l?—[2+ III I22].[2+ IIII. II²2]= o. Sie ist aus lauter Invarianten der beiden quadratischen

Formen gebildet, wie jede Resultante eine Inwariante sein muss, indem sich, selbst bei nicht linearen Transformationen,

*) Es bleibe dem Leser überlassen, sich im Falle der kubischen Determinante die räumliche Vertheilung der Elemente d durch Auf- zeichnen eines Würfels zu versinnlichen.