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Jede Determinante höheren Ranges wechselt ihr Zeichen, wenn zwei derselben veränderlichen Serie angehörige Indices durchweg vertauscht werden: Mithin verschwindet jede Deter- minante höheren Ranges, wenn zwei derselben veränderlichen Serie angehörige Indices einander gleich sind.— So Zz. B. wechselt jede kubische Determinante ihr Zeichen, wenn man 2 den Seitenflächen(nicht der Grundfläche) parallele(verticale) Schichten von Elementen untereinander vertauscht; sie ver- schwindet identisch, wenn zwei einer Seitenfläche parallele Verticalschichten gleich ausfallen.

Wenn dagegen zwei der ersten oder festen Serie ange- hörige Indices I, II... untereinander vertauscht werden, so wechselt die Determinante ihr Zeichen, oder nicht, je nach dem sie geraden oder ungeraden Ranges ist. So z. B. wechselt die quadratische Determinante ihr Zeichen, wenn man zwei Horizontalreihen vertauscht, die Hubische dagegen behält den gleichen Werth, wenn man in ihr zwei Jorizontale Schichten verwechselt, und sie verschwindet nicht, wenn in ihr zwei gleiche Horizontalschichten vorhanden sind.— Denn für die Permutationen irgend einer variabeln Serie liefert die Ver- tauschung der festen Indices, wie in der Theorie der quadra- tischen Determinanten bewiesen wird, eine aus einer unge- raden Zahl bestehende Aenderung der vorhandenen Zahl von Derangements jeder variabeln Serie, also einen Zeichenwechsel für jede der letzteren. Im Ganzen bewirkt daher die Ver- tauschung zweier festen Indices das Hinzutreten eines Fac- tors(— 1)*— ¹.

Setzt man in einer Determinante nter Ordnung und un- geraden Ranges die festen Indices sämmtlich einander gleich, so reducirt sie sich auf eine mit 1. 2. 3... n multiplicirte Determinante nächst niederen Ranges, in welcher eine, etwa die erste, variabele Serie die Rolle der festen Serie über- nommen hat. So ist z. B. für I= II= III...

2+ u)(II)(IIIs)= 6 2+(11)(22)(33).

Aus der grossen Zahl von Elementarsätzen, welche sich als Erweiterungen analoger Theoreme von den quadratischen