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Serie, d. h. die Zahl der Elemente, durch deren Multipli- cation jedes Glied der höheren Determinante entsteht, be- stimmt die s. g. Ordnung, dagegen die Zahl p der Indices jedes Elementes den Rang derselben.— Ist nun durch das auf jede der(D— 1) nicht festen Serien der Indices anzu- wendende Permutationsverfahren die Bildung der Glieder an sich festgestellt, so bedarf es noch einer Definition oder Regel für deren Vorzeichen. Ich wähle eine Erweiterung der Cra- mer'schen Regel:

Liefert die erste veränderliche Serie des Indices für sich m’, die zweite m“, die dritte m“*... Derangements, so ist das Vorzeichen eines Gliedes der höheren Determinante+ oder—, je nachdem die Gesammtzahl m“+ m“ † m“... seiner Derangements gerade oder ungerade ist.

Ich bezeichne die Indices der ersten oder festen Serie im Nachstehenden zu besserer Unterscheidung meist durch römische Ziffern. Hiernach ist z. B.:

2(I u)(II22)= In. II22— Ial. III2+ I24. In— Iu. II zl. 2£₰(I ni)(II222)= III. II222— III2. II221+ I212. II2— I211. II 122 + II2z. II 211— II2I. II 212+ IL221. II 112— T 222.IIII.

Um etwa die Determinante dritten Ranges und zweiter Ordnung 2+ IIr. IIz zu bilden, permutire man in dem An- fangsgliede(Diagonalgliede) IiE. II2z zunächst die erste variabele Serie, wodurch unter Beachtung der Cramer'schen oder der Leibnite'schen Zeichenregel entsteht:

II1. II22— L21. II 12.

In jedem so erhaltenen Gliede permutire man nun auch die zweite Serie, indem man bei jeder Vertauschung zweier Indices einen Zeichenwechsel vornimmt.— Die Zahl aller Glieder ist(1. 2. 3.. n) r.

Aus dem angeführten Bildungsgesetze fliessen sofort folgende Elementareigenschaften der höheren Determinanten, theilweise mit besonderer Rücksicht auf den bekannten Zu- sammenhang der Cramer'schen und der Leibnitz'schen Zei- chenregel.