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Bekanntlich geſchieht dieſes durch Anwendung des ſogenannten Princips der Flächen. Dem⸗

gemäß haben wir allgemein;: r,do νμα 6).

Die Canftante b hat den zu Anfang des§. 7 bezeichneten Werth⸗ Füur die hyperb. Spirale: 74= a. geht die Gleichung d) über in: — 44,== 5 t; integrirt man, ſo kommt: — bd= ar C. Die Integrationcouſtante hängt von der Epoche ab, von der man die Zeit zählt. Soll die Zeit= o ſein für= 1 und a= g, ſo hat man:.

bt=— ar † a—= 64ea t= 4(1— 1); für ⸗= o erhält man: 6= 2 .

Dieſe Gleichung beweiſt uns, daß die hyperboliſche Spirale als Trajectorie von dem Punkt ⸗= 1 bis zum Punkt 7= o in endlicher Zeit durchlaufen wird.

Für die logarithmiſche Spirale*= 4u geht die Gleichung d) über in: ..

ar. - 1 ,—= 5 At; die Integration ergiebt: 7² 54=eir r C. Nimmt man t= o für 7= 1, ſo kommt: 72 1 1— 72 2la † 21 2 a Setzt man nun 7= o, ſo iſt 5 4nel. e 2 b la

Die logarithmiſche Spirale wird alſo von 7= 1 bis= o in endlicher Zeit durch⸗ laufen.

§. 8. Rückblick und Schluß.

Definirt man den aſymptotiſchen Punkt einer Curve:= 9(u) nach franzöſiſcher Weiſe als einen„point, dont la courbe s'approche indéfiniment, sans pouvoir jamais l'atteindre, puisque l'on n'a r= 0n qu'en attribuant à l'angle" une valeur infinie“«, ſo erhält man durch Anwendung dieſer Deſinition auf die logarithmiſche Spirale ein modernes Gegenſtück zu dem eleatiſchen, vielbeſprochenen Achilles. Kein ſcharfſinniger Schüler wird ſich dabei beruhi⸗ gen, ſondern wird und muß Fragen ſtellen, deren Beantwortung zu ähnlichen Unterſuchungen führt, wie in den vorhergehenden Paragraphen..

Ebenſowenig kann man dabei ſtehen bleiben, zu ſagen, die log. Spirale habe in gleicher Weiſe wie die hyperboliſche einen aſymptotiſchen Punkt. Von dem Radius= 1 ausgehend