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§. 6. Rectification der hyperboliſchen Spirale. Die Gleichung der Curve iſt: z= a. Daraus ergibt ſich das Bogendifferenzial:

ds=— d- F(2* 1).. 1).

Wir führen einen Hülfswinkel ein, welcher beſtimmt wird durch die Gleichung:

6. „= tang.... 2). a2 4 1 „2 1= tang 29 1= seg 2a2 1 („2 4 ¹) cosq; Gleichung 2) giebt= a cotang g; differenzirt man, ſo kommt: dree e ſg sin 2 G Wir ſubſtituiren die für d-r und für die Klammergröße erhaltenen Werthe in Gleichung 1) und finden: de de dG

Um die Integration auf möglichſt einfachem Wege auszuführen differenziren wir den 1 Ausdruck:—

)

sin ꝙ Wir erhalten: 4( 1)= aren= we nen.(1— sin 2g) I1cg d'†-l2„ sing sin 2e cos sineg cos— sin g cos— sin— cos ꝙ

Durch partielle Integration erhält man:

d% 1 d 1 dSGii2p Fig 1 eosg und zuletzt:

d G 1 cosd 1 g ang. 2 1 0).... 8—= osgPsin 2hf. 2 3+ ½1 log. nat. tang. 2 ½(900+ 0] 3)

Aus Gleichung 2) folgt: u= tang g. So lange alſo u zwiſchen den Grenzen o und+ — bleibt müſſen für ꝙf die Grenzen 0d und 900 gelten. Der logarithmiſche Ausdruck in der Klammer von Gleichung 3) läßt ſich daher auch ſo ſchreiben: log. nat. tang. ½(90⁰+2 O). Will man nun s zwiſchen den Grenzen= 1 und= 0 nehmen, ſo muß das In⸗ tegral der Gleichung 3) zwiſchen den Grenzen von genommen werden, die jenen Werthen von

r entſprechen. Dar= a cotang. ꝗ, ſo hat man die ſimultanen Gleichungen:

Für„— cot. G= o; tang.= O; Sn 1; G= 90⁰ . 1.r1 a*. Für 7.= 1.. cot. 9 253 tang. 9=; sin g—! 6;= arctang. a.