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pr 1 Sei nun pe= a, ſo iſt= au, welches die Gleichung der logarithmiſchen Spirale iſt. Ob wir, von dem Punkte= 1 ausgehend, den polifugalen oder den polipetalen Theil der Spirale erhalten, hängt davon ab p= 1 oder p= 1 d. i. ein ächter Bruch iſt. Setzt
1 man dieſen Bruch= 44 und 9«, ſo iſt 2 1
7—
u³ Iſt 7= p. ſo iſt auch«= a, und die beiden Curven= au; r= 1 ſind dann ‿
in metriſcher Beziehung Theile einer und derſelben logarithmiſchen Spirale.
Die gegebene Conſtruction iſt beſonders geeignet, die Verwandtſchaft des Kreiſes mit unſerer Curve anſchaulich zu machen. Letztere geht in einen Kreis über, ſobald die Dreiecke 5 2%', b' α ̈, 5 5““ ac. gleichſchenkelig werden. Alsdann wird„= 1, alſo die Baſis 2= 1. In der That gehen manche analytiſche Ausdrücke für die logarithmiſchen Spirale ohne Weite⸗ res in die entſprechenden Ausdrücke für den Kreis über, ſobald man 1= a ſubſtituirt. Sey z. B. 7 der ſpitze Winkel, welchen die Tangente mit dem Radius Vector bildet, ſo iſt bei der I. Spirale:—
tang 1=—
Setzt man a= 1, ſo erhält man für den Kreis tang 1= 7= 900. Die Mehrzahl der Ausdrücke erfordert jedoch, daß man 1+ für a ſubſtituire und dann æ ſich der Null nähern laſſe.
48§ 7. Endlich, oder unendlich?„
Welches von beiden Prädikaten kommt dem Theile der log. Spirale zu, welcher zwiſchen den Radien= 1 und= o enthalten iſt?
Ein Zuſammentreffen mehrerer Umſtände macht es möglich, die geſtellte Frage ohne directe Anwendung der Integralrechnung zu löſen. Um dieſes klar einzuſehen führe man die in§. 1 gegebene Conſtruction ſo aus, daß ab= ab“= a“ ac. und behalte übrigens die dort ge— brauchten Buchſtaben bei. Wir faſſen Dreieck bab ins Auge und fragen, was erfolgen werde, wenn wir den Winkel« variabel nehmen und ſich der Null nähern laſſen? Geſchieht dieſe Annäherung dadurch, daß wir den Rayon a5 rückwärts nach ab bewegen und ſetzen wir hier⸗ bei a ſelbſt variabel, dergeſtalt daß der Punkt 5“ ſtets in die Spirale fällt, ſo ſind die Fol⸗ gen offenbar dieſe:
1) Die Sehne 5 5q wird zum Bogenelement der Spirale. 2) Der ſpitze Winkel 5 5 geht in den Winkel? über, welchen die durch b gezogene Tangente 3