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iſt*). In beiden Fällen wird alſo die endliche Entfernung unerreichbar durch die verdeckte Annahme einer immer langſamer werdenden linearen Bewegung.

Stände nun die Behauptung des franzöſiſchen Gelehrten iſolirt da, ſo würde es ſich kaum der Mühe verlohnen, noch ein Wort über den Gegenſtand zu reden. Gelehrte non⸗ chalance findet ſich gerade bei den Coryphäen der Wiſſenſchaft ſo wenig unerwartet, daß ein emſiges Bekritteln ſolcher Dinge mit Recht als ſchulmeiſterliche Kleinmeiſterei betrachtet wird. Nun bringen aber auch deutſche Lehrbücher die Behauptung:„der Pol der logarithmiſchen Spirale bildet in gleicher Weiſe wie in der hyperboliſchen Spirale einen aſymptotiſchen Punkt.“ Demnach dürfte es von einigem Intereſſe ſein, wenn ich die in mancher Beziehung verſchieden⸗ artigen Verhältniſſe dieſer beiden aſymptotiſchen Punkte nachweiſe.

Zu dieſem Zweck gebe ich zuerſt eine Conſtructions⸗Methode der logarithmiſchen Spirale, woran ſich eine von dem gewöhnlichen Verfahren abweichende Rectification dieſer Curve an⸗ ſchließt. Hierauf werde ich das Bogendifferenzial der hyperboliſchen Spirale in geſchloſſenem Ausdruck integriren, die Unerreichbarkeit des Poles vom Standpunkte der Mechanik unterſuchen, und zuletzt die verſchiedenartigen Folgen nachweiſen, welche die Annahme unendlich großer Ano⸗ malien und verſchwindend kleiner Radien für beide Curven nach ſich zieht.

Zad, Conſtruction der logarithmiſchen Spirale.

Aus dem Punkte a einer Ebene ziehe man vier Rayons, von denen je zwei aufeinander⸗ folgende einen conſtanten ſpitzen Winkel einſchließen. Den erſten Rayon begrenze man durch den Endpunkt b, den zweiten durch den Endpunkt b' ꝛc. und zwar ſo, daß das Verhältniß je zweier conſecutiven Radien ein conſtantes iſt. Verbindet man die Punkte bb’, bb“ ꝛc. durch gerade Linien, ſo entſtehen drei ähnliche Dreiecke, aus welchem Umſtande wir ſpäter Nutzen ziehen werden. Für jetzt beſchäftigt uns allermeiſt die eigenthümliche Lage der Punkte b, b', b“ ꝛc. Sie liegen in einer logarithmiſchen Spirale. Der conſtante Winkel(c) kann natürlich ſo klein gewählt werden, als man will und braucht kein aliquoter Theil von vier Rechten zu ſein, Die Zahl der aneinander gelegten Winkel läßt eine unbegrenzte Vermehrung zu, ſodaß die Con⸗ ſtruction in Gedanken beliebig weit fortgeführt werden kann. Man ſetze nun ab= 1 und

aà b“ 6 ſo ergiebt ſich folgendes Schema: Anomalien Radien 0.. 1 C... P

2 G„. p

m c... pm Bezeichnen wir die laufenden Anomalien mit u, die Radien mit„, ſo iſt

*) An der citirten Stelle des franzöſiſchen Werkes iſt kein Grund für die Unerreichbarkeit angegeben. Man muß alſo denſelben Grund annehmen, welcher bei der hyperboliſchen Sp. angeführt wird Tome I. pag. 282, puisque l'on n'a= o, qu'en attribuant à l'angle u une valeur infinie.