Afpmptatiſche Punkte. Eine Abhandlung von Conrector R. Ilgen.

Einleitung.

Der Achilles des Eleaten Zeno, merkwürdig an ſich ſelbſt, merkwürdiger noch durch die kühnen Folgerungen, welche die eleatiſche Philoſophie daraus zog, pflegt der ſtudierenden Ju— gend zu wiederholten Malen vorgeführt zu werden: zuerſt auf den Gymnaſien als Uebungs⸗ beiſpiel für Summirung der Reihen, ſodann in den philoſophiſchen Collegien als willkommener Stoff bei dialektiſchen Unterſuchungen. Nicht gering iſt die Freude und das Selbſtgefühl des Schülers, wenn es ihm mit Hülfe der Mathematik gelingt, das oröemore des alten Sophisma in eine beſcheidene endliche Größe zu verwandeln. Und dieſes Gefühl des Triumphes iſt hier⸗ bei nicht das Einzige, wovs ihm die Mathematik lieb und theuer macht: ungleich mehr bewirkt dieſes die damit verbundene Wahrnehmung, daß dieſe Wiſſenſchaft auch in den höheren Re⸗ gionen geiſtiger Thätigkeit ihre Stellung hat— eine edlere und erhabenere, als auf demjeni⸗ gen Gebiet, wo ſie die Rolle einer winkelrecht ordnenden und ſchachernden Dienerin zu ſpie⸗ len pflegt.

Allzu vornehm ſollte nun aber Niemand im neunzehnten Jahrhundert auf den alten Zeno herabſehen; Mathematiker, welche(wie weiland Käſtner in Göttingen) ſich mitunter beikommen laſſen gegen die Philoſophen ſpitzige Reden zu führen, ſollten dieſes am allerwenigſten thun.

In einem Buche, deſſen Introduction mit einer großartigen Paraphraſe des Ausdrucks Académie des Sciences(nämlich: premier corps savant de l'Europe) endigt und mit„Paris 1840“ unterzeichnet iſt, findet ſich Tome I. pag. 283 folgende Stelle:

„Spirale logarithmique= au.—— Si l'angle u croit négativement, le rayon „vecteur diminue de plus en plus et la courbe s'approche indéfiniment de l'origine, sans „pouvoir jamais l'atteindre.“—

Dieſes„sans pouvoir jamais l'atteindre“ iſt ein überraſchendes Analogon zu dem elea— tiſchen„ouöenoren. In beiden Fällen iſt die auf der Bewegungsbahn gerechnete Entfernung des Punktes, welcher erreicht werden ſoll, eine endliche. Die Art der Bewegung wird aber ſtill⸗ ſchweigend an Bedingungen geknüpft, unter denen jede endliche Entfernung unerreichbar iſt. Bei Zeno reduciren ſich dieſe Bedingungen auf die ſtillſchweigende Vorausſetzung, daß der Pelide auch die unendlich klein werdenden Vorſprünge ſeiner Rivalin in endlichen Zeiträumen durch⸗ läuft, während dieſes bei unverminderter Geſchwindigkeit in unendlich kleinen Zeiträumen ge— ſchieht, deren unendliche Anzahl eine endliche Summe giebt. Bei dem Pariſer Gelehrten lie gen die Bedingungen in der Vorausſetzung, daß jede Cireumvolution in einem endlichen Zeit⸗ raum beſchrieben wird, auch wenn die lineare Größe einer Windung unendlich klein geworden