— 22— man statt a, den Ausdruck ia,+† K zu setzen hat. Es wird dann I,(„¼, n)= u+ t a Sam(ia. K) II(u, ia,+ K). Es ist aber:

† am(ia+ K) tg am(ia,+ K) am(ai, k) d am(ia,+ K) 1kK sin am(a, K) cos am(al, k“) 2 †g 1 Ferner ist: i(u, ia,+ K)= i H(u, ia,)+ sin am cos amu A am u welche Legendre die circuläre nennt. Um hieraus die Formel für den vollständigen Kegelmantel zu erkalten, setze man

k tgam(a., k) am(ai, k¹)

). Das elliptische Integral dritter Gattung gehört demnach zu der Klasse,

u— arctg(7

wieder„=;, d. h. u= K. Da cos am K= 0 ist, so wird der Ausdruck in der letzten

Klammer= 0; es ist aber arctg 0= 0; also reduciert sich: kz tg am(al, k)

i I(K, ia,+ K)= i I(K, ia.)+ Jam k) K. Es ist aber I(K, i al)= K Z(ian) und i Z(ia,)=— tg am(al, K) 1 am(a,, kK) † Khr k + Z(al, k⁴). Mithin: i I(K, ia,+ K)=— Ktg am(au, K am(a,, K) 2K am(a., k¹)

+† Z(a, k)K. Multipliciert man beide Seiten dieser Gleichung mit

so erhält man endlich

kK¹²sin am(a, K¹) cos am(a,, kK)

1[(. n a K A am(al, k“) K T 41 KA am(al, k) 4— 1123)= kcos am(ar, k.) 2 KR K sin am(a,, K) cos am(a., k.) A am(a., k¹) k² K

1 † Krsmam(al, K'¹) cos am(a, k¹) 2.(a., k) K H. TE Das zweite und letzte Glied geben vereinigt: K(kz— 1+ k“ sin?² am(as, K) kK(1— sinz am ap k) KeK K¹² cosz am(al, k) K¹² cosz am(a., k) 5

cos⁊ am(a., k.)

Es bpleibt also:

71 A am(au, k) K( 71 a1 k) 17(2. 2)= kK“ sin am(a., k¹) cos am(a,, k) 2 KK+ 2(a,sk)

Setzt man diesen Wert in die Formel(24) ein, nachdem man überall„— 7 substi- tuiert hat und verdoppelt das Resultat, so lautet die Formel für den Kegelmantel:

M= c2ab ſa a)(E— 1) E—(— 1) K]+ 6o) Meze N eden 20 11S eanl α— cœ am(ai, 71 A1 — kK 2 sin am(al, K') cos am(ai, L)(2 KK. Zeu; w)x). Diese Formel gilt, wenn h²(bz— c⁊²) C a²cz, aber es ab und ha(b²— c²)— aac² absolut genommen abc“ ist. Es findet in diesem Falle die Ungleichung 5 5 αᷣχ—.‿¶+ 1 statt. Es werde noch die Formel(25), welche für= 00 gilt, in elliptischen Funktionen ausgedrückt.