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Bezeichnet man diese Constante, welche, wie leicht zu ersehen, immer reell und positiv ist, mit D, so hat man: A(X— α)(X— 9) 1— ka sin²& d ꝗ = 2D. R(ſ— 1—+ 2 sin* 9) I= k sinz„ Die Grenzen für das neue Integral ergeben sich auf folgende Weise. Aus der Substitu-

1+)(1— 0(1 l) 10—, also 2YN 2) und

tionsgleichung bestimmt sich y= 1

1— 4+1 und wenn man für xXü seinen Wert b einsetzt, 2(— X) b

ꝙ= arcsin

ꝙ= arcsin 111 b Es wird demnach= 0, wenn=.=+ 1 gesetzt

2(a*ͥb— b.) b wird, und für das oben definierte Flächenstück S erhält man die Formel: „ 1— ka sin² G dꝙ 8— 9— 21 =dr) † Lsnsg ſI= Krsin 621)

Bezeichnet man 1— ka sinz mit ꝙ, so lautet dieselbe:

f 9½ —D 1— ka sin 42.—d. 19 d 1 22 DI= d 2ngk 79 D J= c) 2s 22) 0 0 Da 5 mit einer rationalen Funktion von sin& multipliziert ist, führt die weitere Re- duktion auf elliptische Integrale aller drei Gattungen, welche nach Legendre zunächst in folgenden drei Formen enthalhn sind:

fß dꝙ dm+ sin? und 19 19 G Hal⸗ 2)1 0 1 In diese Formen ist das Integral in(22) zuerst zu zerlegen. Setzt man nun— 4 2m,

„ — 2 sin ² so daſs s= Tbſa— I und zerlegt den Faktor von 5 in Partialbrüche, 0 3, lih 1— kz sinz 1 †mka k2. nämlich— 5 o m P. sinsg so folgt f 8= ¼ p(1+ n)(— u 4„.(23) Jm † du 20) 19(m+† sin²) 19 0

Das zweite Integral hat schon eine der obigen 3 Formen, es bleibt also nur noch das erste zu reducieren. Es geschieht dies vermittelst der bekannten Reduktionsformel, welche sich aus folgender identischen Gleichung durch Ausführung der Differentiation unter dem Integralzeichen herleiten läſst:

G d[(m+ sinz)“ sinq cosg 49]

— dq. dꝙ 4

(m+ sin?)“ sinq cos; 1=

1882. S. G. 3