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von den 4 Wurzeln 2 imaginär, so hat man statt+† 4 und— die Werte+†

1.::; und 11 sind aber alle 4 imaginär, auch noch statt+ 1 und— 1 die Werte+i und — i 2u setzen. Um die 3 obigen Integrale in das eine—1e überzuführen, hatte man ) VI— k sinz«

z= Sin&, oder= cos, oder tg& zu setzen. Damit diese Substitutionen möglich sind, darf z bei der Integration in den beiden ersten Fällen den Wert 1 nicht überschreiten. Dies bewirkt man auf folgende Weise. Die Reihe von Werten, welche x annehmen kann, wird durch die 4 Wurzeln X,, Xz, X, X. in 4 Intervalle geteilt; liegen nun die Grenzen

des Integrals di in einem der Intervalle, so wird x bei der Integration in demselben

bleiben. Man braucht daher bei der Bestimmung von m, m“, n, n* nur an die Stelle von z + 1 und— 1 zu setzen, wenn an die Stelle von x die Wurzeln gesetzt werden, zwischen welchen die Grenzen des Integrals liegen. Es ist dies aber immer auf zwei verschiedene Weisen möglich. In dem Falle, wo nur 2 Wurzeln reell sind, hat man natürlich diese an die Stelle von X zu setzen. Man kann ferner immer bewirken, daſs k 1 wird. Im 2. Falle, in welchem kr= 1+ 1 1— 12 annimmt, muſs 1 kleiner als 1 sein, was leicht durch die richtige Wahl der Vorzeichen erreicht wird. Im 1. Falle aber, in welchem alle 4 Wurzeln reell sind und kK= wird, hat man folgendermafsen zu verfahren. Damit k kleiner als 1 wird, müssen

wird, geschieht dies von selbst; im 3. Falle, in welchem k² den Wert

1 — 1,+ 1,—*¼+ 1. der Grölfse nach folgende Reihenfolge bilden:— 1,+†l,

1. +—. Ist nun 2. B. X X2 x. und liegen die Grenzen des Integrals zwischen k 1 2 3 4 8

x. und xa, so genügt man den gestellten Bedingungen, wenn man die einzelnen Werte in einer der beiden folgenden Reihenfolge einander entsprechen lälst:

4 1 1 1 —1+ 1; k;— 1+ 1; Xi;, XZ, Xz; X X4, XzS;, Xz, X1

Die Stellung der Wurzeln ist so gewählt, dafs sie der Gröſse nach auf einander folgen, wobei zwei noch als auf einander folgend betrachtet werden sollen, wenn man von der einen zur anderen durch+ 06 gehen mufs. Bei der ersten Anordnung wachsen X und 2 zugleich, bei der zweiten nimmt x ab, während z vächst.

Liegen die Grenzen des Integrals ſa nicht in einem Intervall, so ist dasselbe

so zu teilen, dafs für die einzelnen Integrale x in einem Intervalle bleibt. Sind die 4 Wurzeln reell, so ist es meist vorteilhafter statt der eben betrachteten m+ m’¹2²

Substitution erster Ordnung eine solche zweiter Ordnung anzuwenden: X= me