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Die Formel(2) geht durch eine leichte Umformung in folgende über:
bha ſazc—(b*— cꝛ*)(h2+ 6²)] 5. azc=— h(b=— c*)„(15)
O 8= 2 JaK m cos), k.= 0 — abc² Vazcz— h=(bz=— c*² der für den schiefen Kreiskegel überein und kann im allgemeinen auch ähnlich behandelt werden. Hier soll von Formel(1) ausgegangen werden.
Man kann derselben dadurch, dafs man den Zähler rational macht und die Grenzen umkehrt, folgende Gestalt geben:
und m= Hasc?— h?(bz— c*). Sie stimmt in der Form mit
— 1**[hz(bz— c*)— a¹c=l x*+ 2 abc=x— ba(he+ cꝛ)(16) 2 7VN= 1).([h(bæ— G—)— ascsl 2abeeX b(h G) 8—rfe(bz— cꝛ)— aac:] 2aAbe b(h.. CD d 110)
1 wenn R die Quadratwurzel im Nenner bezeichnet.
Es werde zuerst das Integral a betrachtet. Dasselbe läfst sich durch ver-
schiedene Substitutionen auf die Norärtllorm der elliptischen Integrale reducieren. Durch
die Substitution der ersten Ordnung 1= n e
n P n2
kann es zunächst in eins der 3 folgen- den Integrale
2 dz 42 V— w)(1)— 22)*) VG— 25(1 † 22) ſVaSen) transformiert werden, je nachen von den 4 Wurzeln der Gleichung R2= 0 alle reell, oder 2 reell und 2 imaginär, oder alle imaginär sind. Diese 3 Integrale gehen aber,
d wenn man 2z= sing, oder= tgo setzt, alle in das eine Integral über:—
welches die Normalform der elliptischen Integrale erster Gattung ist. ka erhält in den
2 3 Fällen die Werte 12—— 1— 12². Die obige Transformation führt man am ein-
⸗ 1+ 7² fachsten auf folgende Art aus. Es seien vorläufig die 4 Wurzeln der Gleichung R2= 0 reell; sie mögen Xi, Xz, Xa, X heissen. Die Wurzeln von(1— 2²)(1— 42²2²)= 0 sind aber
1 1. m+ m¹2 2 + 1,— 1,+. Setzt man nun in X= neem ersten Werte und für z die letzteren ein, so erhält man 4 kfalrlclnngen aus denen sich m, m', n, n’ und 4, also auch k so bestimmen, daſs Ræ= A(X— X.)(X— Xz)(X— X.)
X—- 2) in eine Funktion von Z verwandelt wird, welche für die den Werten XI, Xz, Xa, X.
entsprechenden Werte+ 1,— 1,+ 8—
der Reihe nach für X die
8 verschwindet, mithin die Form(1— 2²) (1— 422²) hat. Es wird allerdings(1— 22)(1— 42²2²) noch mit einem Nenner 4. Grades
behaftet sein; derselbe hebt sich aber gegen den gleichen Nenner von dz fort. Sind 1882. S. G. 2