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Man kann dieselbe auf eine Substitution erster Ordnung zurückführen. Es wird nämlich
d2 1¹ dy wenn 22= y gesetzt wird, und man VI— 2)(1— kK.z) 2 W(1— y)(1— k.y) braucht daber dx nur in dem letzten Ausdruck durch die Substitution 1= nJ R n+ n y
überzuführen. Man hat dabei die Gleichung y(1— y)(1— k*y)= O als eine Gleichung vierten Grades aufzufassen, deren vierte Wurzel= 00 ist, so daſs die Wurzeln der Reihe
1 nach 0,— 1;+ X, Integration jetzt zwischen x, und Xz, so gelangt man durch dieselben Betrachtungen wie oben zu folgenden beiden Ordnungen:
1 1 0,+ 1,, 0,+ 1, Xz. Xi, XZ, X;, X; X, XI, Xa, X Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich nun, daſs zur Ausführung der Transformation von
4& die Gröfsenverhältnisse der 4 Wurzeln der Gleichung
R
Rz=(xz— 1)(Th²(bz— c*)— aac²] X²+ 2 abc*x— b*(h²+ c²))= 0 festzustellen sind.
Man ersieht sofort, dafs zwei der Wurzeln+ 1 und— 1 sind und die anderen, welche mit a und bezeichnet werden sollen, aus der quadratischen Gleichung
Th²(bz— c⁊*)— a²c²] X*+ 2 abcCx— b*(h²+ c*)= 0
erhalten werden. Der Fall, dafs alle 4 Wurzeln imaginär werden, tritt also nicht ein. Was die Wurzeln und p betrifft, so ist nur zu untersuchen, wann sie reell oder imaginär sind und wie sie sich zu den anderen Wurzeln+1 und— 1 verhalten. Setzt man zur Abkürzung
0o0 sind. Ist nun wieder X, X2 CX, CX und bleibt x bei der
hz²(bz— c*)— aac= A, abe?= B, b“*(hz+ c*)= C so lautet die Gleichung Ax2+ 2 Bx— C= 0 und die Wurzeln sind: — B+ V AG— B— VEE AO A 6 und= 5 R² läſst sich demnach in folgendes Produkt verwandeln: R== A(X— 1)(X+ 1)— a)(,‧—“ 5). Da B und C immer positiv sind, handelt es sich bei der Entscheidung, ob α und 6 reell sind zunächst um A. Es sind demnach 3 Fälle zu unterscheiden: A= 0 oder hi(b— c*)— aac* A= O oder hea(b²— c²)= azc2 A C0 oder hæ(b²— c²) C a²c* Im ersten Falle sind æ und g reell, im zweiten reduciert sich die quadratische Gleichung
auf die lineare: 2 BXx— C= O. Im dritten Falle ist noch zu unterscheiden ob B²+ AC=c.
Es sollen nun die einzelnen Fälle untersucht werden. I) Fall: A 0, d. h. hz(b²— cꝛ*) ₰ a²c*
Zunächst ist klar, dafs 6β negativ und absulut genommen grölser als ist; ferner mufs, 2*