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Bestimmen wir die Grenzen. Um möglichst allgemein zu verfahren sollen zunächst die Formeln für ein solches Flächenstück entwickelt werden, welches durch eine Ebene heraus- geschnitten wird, die durch den Kegelmittelpunkt und senkrecht zur XY Ebene gelegt ist. Die Integration in Bezug auf y geschieht dann zwischen der Linie, in welcher die XYEbene von der Kegelfläche geschnitten wird, und der Projektion der Linie, in welcher die obige Ebene die Kegelfläche schneidet. Nennt man b, das Stück, welches diese Ebene von der groſsen Achse der Ellipse, vom Mittelpunkt an gerechnet, abschneidet, so lautet die a— b. h dem es vom Mittelpunkt der Ellipse aus nach der Höhe zu oder nach der entgegen- — b. a— b 1* und y.= 1
Diese Grenzen werden nun durch die eingeführten Substitutionen auf folgende Weise
geändert. Setzt man y= y x, so folgt X= 4 1 br x, also= 2 7 b. und 7=.
Führt man diese Werte von 7 und v in die Substitutionsgleichung a— hy= bx ein,
Gleichung der Schnittlinie: y= X; bi ist positiv oder negativ zu nehmen, je nach-
gesetzten Seite zu liegt. Die Grenzen für y sind demnach: y= 2 ä.
so folgt= und Xx= 1. Dies sind nun die Grenzen für das obige Integral und
die Formel für das betreffende Flächenstück lautet:
b1 b. 1 b2(h²+ c²)— 2 abc²x+(h²c²+ a2 c.²— b2h²) X2 8=—— dX. 2 92 1— X2 Will man das Flächenstück berechnen, welches zwischen zwei Schnittebenen liegt, die von
b. bz. * und* die Grenzen.
Will man die ganze Kegelfläche berechnen, so hat man in dem obigen Integral b.=— b zu setzen, so dals die Grenzen dann+ 1 und— 1 werden, und den erhaltenen Wert zu verdoppeln.
Kehrt man endlich die Grenzen und das Zeichen um und nennt die obere Grenze
der grofſsen Achse die Strecken b, und ba abschneiden, so sind
5 kurz x, so erhält man 4 1 2 2 2— 2 2 2 2762— ha h 2² 2 s='ſV(E Gd)= ZabciX † hici † alc=b 1) 2 1— XZ Die einfachste Gestalt erlangt das Integral aber, wenn man X= cos o, also 5 4*= — X
=— do setzt, was immer möglich ist, da x die Grenzen+ 1 und— 1 nicht über-
schreitet. Die Grenzen werden dann= arccos 8 und= 0 und
9* 8= JV(h²+ c⁊²)— 2 abci cos+(h²c²+ a?c?— bah²) cosz de.(2)
Aus diesen Formeln für den Flächeninhalt des schiefen elliptischen Kegels ergeben sich die für den Flächeninhalt des schiefen Kreiskegels, wenn man b=c= r setzt. Man erhält dann: