zeugenden Geraden aber: y= x und z= 2 x. Es besteht demnach zwischen y und
z0 die Gleichung. 1 2)+ Le 4 1, woraus noch Elimination von y und zo als . Gleichung der Kegelfläche folgt:„— † 3
+ ba(hz— dx)²— b²c*x*= O.
= 1 oder: cl*(hy— ax)*+
d F. d F Bezeichnet man diese Gleichung mit F= 0 so ist— und 15= F. Da d⁊ d⁊ dF dF aber 2 ſacz(hy— ax)+ bad(hz— dx)+ bc²x], 7= 2 he*(hy— ax) und
r= 2 hbz(hz— dy) ist, so erhält man, wenn man z mittelst der Gleichung b*(hz— d x)2=
= bac*xe— c-(hy— ax) durch x und y ausdrückt und die erforderlichen Reductionen vornimmt, für den Flächeninhalt folgendes Doppelintegral:
1 hGee 2(ax— hy)²(hecz a2c? heb*)— 2abecex(ax— hy). 2 bcdſbex— a(ax= hy)l IBeXE=(Ax=hyJ Jx d bh b2x²2—(ax— hy)* 8 Durch Einführung der oben besprochenen Substitution y= uX wird die eine Integration
ermöglicht und es ergiebt sich folgendes einfache Integral: 1 X2 h(h2 † c²)+(a— hy)²(h2c²+ a²cz— h²b²)— 2 a bzc*(a— hy). 2 bedlbz— a(a— hy)] Vbz—(a— hy)² 4 2 bh bZ—(a— hy)² 7 Da die Integration nach x offenbar zwischen den Grenzen 0 und h geschieht, so ist in diesem Integral h an die Stelle von x zu setzen. Eine bedeutende Vereinfachung
erfährt dasselbe noch, wenn man a— hy= bx, also di= dr setzt; dieses neu ein-
geführte x ist natürlich nicht die vorherige Veriabele. Die Fläche wird dann durch folgendes Integral ausgedrückt: 1 VE(h⸗+ cꝛ²)+(hacz+ a²c²— bah) x²— 2 abcx A 2 bcd(b— ax) 1— XIX
2 1— XZ Dieses Integral ist nun, so lange der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen irrational ist, auf keine der bekannten Funktionen zurückführbar; es geht dasselbe aber, sobald das irrationale Glied fortfällt, in ein elliptisches über, da sich dann der Ausdruck unter dem Integralzeichen in eine Funktion umwandeln läſst, welche im Zähler rational ist und im Nenner eine Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion 4 ten Grades enthält. Das irrationale Glied fällt aber fort, wenn man d= 0 annimmt, d. h. den Fufspunkt der Höhe in die grofse Achse oder deren Verlängerung verlegt; man kann die Wahl der Coordinaten auch so treffen, dass das irrationale Glied fortfällt, wenn der Fufspunkt der Höhe in die kleine Achse fällt.
Das Integral erhält dann folgende Form:
Ve(h²+ c²)— 2 abc²x+(hic*+ a“¹c*— bh²) X2² d
1— X2
— 1. 2