Formeln für den Inhalt der Kegelfläche.

Das Doppelintegral 6 T 6 2*() dx dy, durch welches der Inhalt

einer krummen Fläche ausgedt uekt wird, läfst sich bekanntlich sehr leicht auf ein ein- faches Integral reducieren, wenn die Fläche eine Kegelfläche ist. Denkt man sich nämlich die Kegelfläche durch die Bewegung einer geraden Linie erzeugt, welche immer durch einen festen Punkt und eine feste Curve geht, und wählt man den festen Punkt als

Coordinatenanfang, so kann man für sie eine Gleichung von der Form z= X.„5) ab-

dz 1„) dz ſy 1=-()=X„(*). W=() ma

dz 1 82 y„ſyYVL y N 1 †s)s Gr)= ſ)—2„ e(2l). Substituiert man nun y= h⸗Xx, so hebt sich das x in diesem Ausdruck und es wird

dy= vdx+ xdy. Da aber x bei der Integration nach y als constant zu betrachten ist, so wird dx= 0, Tl dy= Xdy und es ergiebt sich:

STVrITAS+(Er)4(Er*) dx dy W †I G)=r L xdxGGy= — VI+[G G)— 19(O)E+[H() E dy.

Die Möglichkeit dieser zweiten Integration hängt nun von der speciellen Form der Kegel- gleichung ab. Es sei der Kegel ein elliptischer und die Höhe möge die Basis in einem beliebigen Punkte treffen. Bedeuten dann b und c die grofse und kleine Halbachse der elliptischen Basis, h die Höhe und a und d die Coordinaten des Fufspunktes derselben, genommen in Bezug auf die beiden Achsen, so läfst sich die Gleichung der Kegelfläche aufstellen. Legt man nämlich den Coordinatenanfang in die Spitze des Kegels, die XAchse in die Höhe und die XAchse parallel der grofsen Achse der Ellipse, so lauten die

= a) 1.(2=— d) b2²: c²

leiten. Demnach ist

Gleichungen der Ellipse:= 1 und x= h, die Gleichungen der er-

1*