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1 8 1 n † 1)(En † 2)' ua t=(22 †. 3)(24 † 4)“ abso

Hier ist un=

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10 (an+ 1)(2n+ 2) n* n.

tg an= 1—=— (2n+ 3)(2n+ 4) 14 12 4+ 2

Mit wachsendemen wird tg an unendlich klein; die Reihe fällt also unter die vierte Gruppe. Dass sie aber konvergiert, ist leicht einzusehen, da

10 lim 1. t a,= Um.. 2 2»1 ist. n=& 4+ 14+ 12 n n 4. In die gleiche Gruppe gehört die Reihe Aus n=, abr— t n 1 a. tolgt (+ 212— i ti(n † j⸗— 1 0lg 1 2. † 5 tga.=(n+ 2) 2— 1— 2 n+† 5 n ²

(n+ 3)2— 1

Es ist also wieder lim n. tg an= 2 1.

n= Ton † sS 1+ 4+.

n ²

B) Reihen mit Gliedern von wechselnden Vorzeichen.

Viel einfacher als die Untersuchung der Konvergenz einer Reihe mit gleichen Vor- zeichen ist die einer vorgelegten Reihe mit wechselnden Vorzeichen. Diese hat die Gestalt s= u,— u,+ us— us+ u.— us+4—...

Die graphische Darstellung erfolgt hierbei zweckmässig in folgender Weise: Trage auf der Grundlinie von dem festen Punkte O die Strecke uo in positiver Richtung bis Ao ab, und errichte das Lot O Bo= uo in positiver Richtung.[Das Vorzeichen der Richtung werde wie bei dem rechtwinkligen Koordinatensystem gewählt.] Errichte in Ao das negative Lot Ao B= u, und trage in negativer Richtung auf der Grundlinie Ao Ai= ui ab. Suche in gleicher Weise durch Benutzung von us die Punkte Ba und A, u. s. f.(vergl. Figur 19.) Wie in den früheren Fällen wird hier praktisch Millimeterpapier benutzt, sodass der Zirkel vollständig entbehrlich ist. Bezeichnet man die Summe der Glieder bis un einschliesslich mit sa, so ist O Ao= 80, O At= 81, O Ag= 3 ISt die Reihe fallend, so kann sich der Streckenzug O Bo Ao Bi Ai Be Ae..... nicht durchschneiden, denn alle Strecken A Bi sind parallel, ebenso die Strecken Ai Bi+ 1; ferner ist dann O Ao Ao A* Ar A* As As*..... Es fällt also A zwischen O und Ao, Az zwischen Ao und Al, As zwischen A, und As u. s. f. Die Endpunkte der Strecken san rücken daher mit zunehmendem n immer näher nach O, die der Strecken san+i immer weiter von O weg, um aber stets noch nâher bei O zu liegen als die der Strecken su. Daher ist jeder Naherungswert s2u- 2* S2 n, S22+ 1* S2n— 1, s2n* s2n †+ 1. Nehmen die Glieder der Reihe unbegrenzt ab und nähern sich der Null, so streben die Endpunkte der szn und s2n+ demselben zwischen O und Ao gelegenen Punkte A zu, sodass O As die Summe