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grosse Werte vonen grösser als im vorliegenden Falle(m* 1), so konvergiert sie, d. h. eine unendliche Reihe mit nach Null abnehmenden Gliedern konvergiert, wenn

lim n. tg an* 1 ist. Sie ist dagegen sicher divergent, wenn dieser Wert kleiner als l wird, denn dann besitzt sie noch geringere Konvergenz als die harmonische Reihe. Zweifelhaft bleibt allerdings dann noch der Fall, dass lim n. tg an= 1 ist, bei dem also eine weitergehende Untersuchung erforderlich ist.

Die vorausgehenden Betrachtungen haben also gezeigt, dass die konvergenten unendlichen Reihen mit nur positiven Gliedern praktisch in vier Gruppen eingeteilt werden können:

1. Die Reihe fällt mit wachsendemen immer stärker; tg an wird immer grösser. [Beispiel: die Reihen für e und ex, die binomische Reihe für(1+ x), wenn p=— 1 und X σα 1 ist

2. Die Reihe fällt gleichmässig; tg an ist konstant für jeden Wert von n.[Die geometrische Reihe für q= 1 oder die binomische Reihe für p=— 1, X¼ 1

3. Die Reihe fällt zwar immer langsamer, aber doch stärker als eine angebbare fallende geometrische Reihe; tg an nimmt mit wachsendemen ab, um sich einem endlichen Wert zu nähern.[Beispiel: die binomische Reihe für(1+† x)v, wenn p=*— 1, ſx] 1 ist.]

4. Die Reihe fällt immer langsamer und zwar mit beliebig wachsendem n noch schwächer als jede angebbare geometrische Reihe; tg an nimmt nach Null hin ab, aber n-tg an bleibt grösser als 1.[Ist lim n tg an= 1, so ist die Reihe divergent; für lim n. tg an= 1

: 1 1 1 ist die Konvergenz zweifelhaft. Beispiel: die Reihe ITn+ 2u+ 3„+... ist für m. 1 konvergent, für m= 1 dagegen divergent.] Weitere Beispiele:

1. Es soll die Konvergenz der binomischen Reihe untersucht werden, wenn x=— l ist, also alle Vorzeichen(wenigstens von einem bestimmten Gliede ab) gleich sind. Hier ist(s. o.)

— n—pPp n— p p+ 1

t= 1—— f. 2= 1——. P an n n

n= œ1+ 1. Soll also die Reihe konvergieren, so muss pP+ 121 sein, also p= 0, d. h. der Exponent p muss positiv sein.

2. Es handle sich um die Reihe

s= a †+ aq+† aq:+ aql+ aqs+.....

Für beliebig wachsendes n nimmt tg am nach Null ab, aber es ist lim n. tg an=

— 1 n— 1

.. 2n n.

Bei ihr ist un= aq=„ un † 1= aqꝰ*, also ist tg an= 1— q* Damit tg an O0 bleibt, ist—.= 1 zu setzen; dann nimmt aber tg an mit beliebig wachsendemn zu, um sich der Grenze 1 zu nâhern. Die Reihe fällt daher in die erste Gruppe.

3. Die zu untersuchende Reihe sei

1 l. 1

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