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Reihe für e. Sobald jedoch p=(— 1) gewählt wird, ist— Po und der Wert von

tg an fällt mit zunehmendem n. Der Streckenzug bildet immer kleinere Winkel mit der Grundlinie, um sie schliesslich in S unter dem Winkel as zu treffen, für den tg a.= 1—& ist. Dass die Reihe auch in diesem Falle konvergiert, ist leicht einzusehen. Denn jede Gerade Ba D,. die die Grundlinie in D unter dem Winkel as trifft, liefert als oberen Grenzwert der Reihe die Strecke A D= A S. Die binomische Reihe konvergiert also für jeden Wert von p, wenn 8 1 1 ist.

Aus den letzten Untersuchungen hat sich ergeben, dass die unendliche Reihe sehr wohl konvergieren kann, wenn der Streckenzug mit wachsendem n stets geringere Neigung zur Grundlinie hat; natürlich kann sie dann auch divergieren, wie das Beispiel der harmonischen Reihe(Figur 17)

s= 1+ ½+ ½+† ¼+...

zeigt. Der Beweis hierfür ist bekannt. Auch zeigt die Reihe gegenüber der vorher betrachteten noch einen weiteren Unterschied; für sie ist nämlich n— 1

1 tg an= 1— n

*

d. h. für beliebig wachsendes n wird tg an unendlich klein, während die binomische Reihe auch für p*(— 1) an allen Stellen stärker konvergiert als eine geometrische Reihe, deren Quotient um eine beliebig kleine Grösse grösser ist als 1—«, bei der also tg an stets einen endlichen Wert behält.

Dass aber auch diese Unterscheidung noch kein sicheres Kennzeichen bietet, zeigt die Untersuchung der Reihe

1 1 1 1 8— Im+ 2m+ 3m+ 4m*.....

Für m= 1 wird die Reihe zur harmonischen und divergiert; dafür, dass sie für m= 1 ebenfalls divergent ist, für m* 1 aber konvergent, gibt es einen bekannten einfachen arithmetischen

1—, mu= l=— un(n † 1) m(1+*)“ 1+ 4.... 1

Für beliebig wachsendes n können die höheren Potenzen von. gegenüber 7 vernachlässigt

Beweis, der hier nicht wiederholt werden soll. Wird in dieser Reihe un= IE gesetzt, so ist u 4.1= 1 nm

tg an= 1—

werden. Dann wird

lim— 1 1- 1n= m n= 00 tg an 1 1+% 1 nm m †n.' n . 1 Im ferner ist n lnOOnä. ga. 4E

Hier wird auch für m 1, also wenn die Reihe konvergiert, mit unendlich wachsendem n der Wert tg an der Grenze Null beliebig nahe gebracht. Diese Tatsache liefert ein vor- zügliches Mittel, um auch in schwierigeren Fällen ein sicheres Kennzeichen für die Kon- vergenz einer Reihe zu finden. Bleibt nämlich bei einer Reihe tg an auch für beliebig