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Als Beispiel hierfür werde die Reihe(Figur 16.)
1 1 1 1 gewählt, für die lim un= o ist und 1 2(.+ 1)1 1 tg a 1— 1— 1 n!
wird. Mit wachsendem n wird tg an immer grösser, um sich der Grenze 1 zu nähern. Der Streckenzug fällt immer stärker zur Grundlinie und trifft sie unter dem Winkel 45°. Sehr leicht lässt sich die Summe angendâhert berechnen. Wirdn= 3 gesetzt, so ist
A Anll= AA.= 1+† 1+† ½+ ½+ ½4= 2,70911.... eine untere Grenze für e;
da ferner tg a= ¼ ist, also A, D= n 5= 1¼15, so ist 1+ 1+† ½+† ½⅛+ 1⁄16= 2,722... 3
eine obere Grenze. Also ist 2,70911... e= 2,722... Rein arithmetisch kommt
man zum gleichen Ergebnis, wenn man als untere Grenze die Reihe bis zum Gliede un †1 addiert, als obere Grenze aber diese noch um die unendliche geometrische Reihe vermehrt,
... u..
die nach un] 1 mit dem konstanten Quotienten—ulhl weiterläuft. n Entsprechend ist die Untersuchung der Reihe X XZ X 4 =... † † r r X
; für X 1 ist sie anfangs steigend, um aber vonmn* X— 1
Hier ist tg an= 1— n an zu fallen; mit zunehmendemen wächst auch der Wert von tg an wie bei der Reihe für e.*)
Aehnlich liegen die Verhältnisse bei einem besonderen Falle der binomischen Reihe
1=(i)Tr= 4(1)* †()**†(½) †....
Damit die Reihe, wenigstens von einer bestimmten Stelle ab, nur Glieder von gleichem
Vorzeichen besitzt, ist x= o zu wählen oder X=— 8, wo o ist. Es ergibt sich P en+ 1 4 ( †)* p— n n— p tg an= 1— e= 1— P-n. x= 1 uP.. g an(*) 1 11 X 1 n 8 n h. Für p=— 1 wird die Reihe zur geometrischen und konvergiert für 8= 1. Sobald* 1
wird, divergiert die Reihe für jeden Wert von p, da 2 p 4 11 p+ 1 t 5—— 1—* g an 1(.†1 1+ 2 von einem bestimmten Wert vonn ab negativ wird, der Streckenzug sich also dann von der Grundlinie entfernt.
Zunächst werde nur 8= 1 berücksichtigt. Dann ist für p=— 1 der Wert p+† 1
. 1. 4.. negativ, 1—— 1 nimmt also mit wachsendem n ab und tg an steigt, um sich dem Werte 1—& zu nähern. Die Reihe fällt also immer stärker und zeigt das Verhalten der
*) Hier ist wie in den späteren Beispielen die einfache Ueberlegung, dass n un= 0 ist, übergangen.