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IV. Unendliche Reihen. X) Reihen mit nur positiven Gliedern.

Eine sehr anschauliche Darstellung der unendlichen geometrischen Reihe s= a+ aq+ aq*+ aq †....(q 1 1),

die hier wenig geändert und abgekürzt wiederholt werden möge, verdanken wir Dr. K. Gold- zieher.*)(Figur 15.)

Trage auf einem Strahl XS der Grundlinie die Strecken A Ai= a, Ai Ae= ad, A, A= aq*,.... ab; errichte auf AS die Lote A B= a, A Bi= aq. A B.= ad²,..... Die Verbindungsstrecken B Bi, B. Ba, B Ba,.... fallen dann, wie sich leicht zeigen lässt, in eine Gerade, die die Grundlinie in S trifft. Dann ist A A+ A A.+ A⸗ A †..... AS= s die Summe der unendlichen Reihe. Da ferner tg+△‿ ASB= 1— q ist, besteht die Beziehung

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Die hier ausgeführte Konstruktion lässt sich leicht auf andere Reihen übertragen. Es liege z. B. die unendliche Reihe(in allgemeiner Form) vor: s= u.,+ u † us † u †...„ deren sämtliche Glieder positiv sind und immer kleiner werden, um sich der Null zu nähern. Sollte die Reihe am Anfang wachsen oder Glieder mit verschiedenen Vorzeichen haben, so wird sie erst von der Stelle ab untersucht, von der die obigen Bedingungen erfüllt sind. Man trägt wieder auf der Grundlinie vom Punkte A aus die Strecken A A= uo, Ai A.= ui,

Aa A=,..... ab und errichtet die Lote A B= uo, A B= u, A Be= ug,... auf der Grundlinie(vergl. Figur 16 u. f.). Denkt man sich die Zeichnung unendlich weit fortgesetzt, so trifft der Streckenzug B Bi Be Ba..... die Grundlinie entweder in einem

Punkte S, dann stellt A S die Summe der unendlichen Reihe dar; oder der Streckenzug trifft die Grundlinie nicht im Endlichen, dann ist die Reihe divergent. Die Klärung dieser Frage liefert in jedem Falle die Entscheidung darüber, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder nicht. Sie bietet deshalb einige Schwierigkeit, weil ausser bei der geometrischen Reihe der Streckenzug nie in eine Gerade fällt. Wird nämlich der Winkel der Strecke Ba Ba+ 1 mit der Grundlinie durch an bezeichnet, so ist

un— un 4† 1 un † 1 tg an= 4.= 1= u† F. An Un Un 3 u... 3 d. h. nur für l== oonst. fallen alle Strecken in eine Gerade; das trifft aber u qn

nur für die geometrische Reihe zu. Wird qua mit wachsendemen immer kleiner, also tg an= 1— qyu immer grösser, so neigt sich der Streckenzug Ba+1 Ba+2 Ba †3..... stärker zur Grundlinie hin als die Gerade Ba Ba+ 1. Trifft diese die Grundlinie in Du, so erreicht sie der Streckenzug in einem nàâher bei A gelegenen Punkte S; es stellt dann AS= s die Summe der Reihe dar, während A Das eine obere Grenze für die Summe s ist. Unter dieser Bedingung ist die Reihe sicher konvergent.

*) Unterrichtsblätter 1909, No. 3; vergl. auch die ergänzenden Betrachtungen über die Konvergenz der Reihe durch Rottsieper.(Unterrichtsblätter 1910, No. 3.)