26 der unendlichen Reihe darstellt. Hieraus folgt der Satz: Nehmen die Glieder einer Reihe mit wechselnden Vorzeichen immer mehr ab und haben die Null zur Grenze, so ist die Reihe konvergent. Aus diesem Grunde ist z. B. die harmonische Reihe mit wechselnden Vorzeichen s= 1— ½+ ½h— ¼+— ½+—.(Figur 19.) konvergent.

Auch der Unterschied zwischen bedingt und unbedingt konvergierenden Reihen lässt sich an einzelnen Beispielen veranschaulichen, wenn jedesmal die Strecken Ai Bi41 und Ai AiJ 1 entsprechend ihrem Vorzeichen abgetragen werden. Doch scheint mir vorläufig, dass ein tieferes Eindringen in diese Frage nur auf rein arithmetischem Wege erfolgen kann.

Nehmen die Glieder der Reihe nicht nach Null hin ab, sondern nähern sie sich der endlichen Grenzer, so wird die Summe sn durch Hinzufügen des Gliedes un † mindestens um den Betrager geändert. Die angegebenen Grössenbeziehungen zwischen s2n- 2, S2n— 1, sS2n, sanr†1, bestehen zwar auch noch weiterhin, aber die Endpunkte der saun nähern sich einem Punkte Ap, die der sazn †1 einem Punkte Ad, sodass Ap Ag= r wird. Der Streckenzug O Bo Ao B A Be.... konvergiert also nicht nach einem Punkte, sondern nach einem Parallelogramm, dessen eines Paar Gegenecken Ap und Ag sind. Die Reihe heisst in diesem Falle oszillierend, als Beispiel sei erwähnt

3= 11— 1 ½+ 1 ¼— 1 †. 1%— †.....

Von weiteren Anwendungen(auch auf die binomische Reihe für X=+ 1) möge hier abgesehen werden.

Recht interessant ist der Vergleich der vorstehenden Betrachtungen auf Grund der Zeichnung mit der bekannten rein arithmetischen. Die Untersuchungen mit Hilfe der Konstruktion sind jedenfalls viel anschaulicher und dem Verständnis leichter zugaànglich, während andererseits nur die Arithmetik zur vollen Schärfe der Auffassung hinführt. Die erste Methode ist für den Anfänger entschieden geeigneter, doch kann sie auch dem Fort- geschrittenen manche neue Anregung bieten, wenn dieser auch immer die zweite als letztes Ziel ansehen wird. Daher wäre es wohl ein Fehler, wenn man eine der beiden Auf- fassungen ausschalten wollte.

Natürlich können die Ausführungen über die graphische Behandlung der unendlichen Reihen durch die obige Darstellung nicht als abgeschlossen gelten; sie sollen vielmehr nur eine kurze Uebersicht und Anregungen zur weiteren Ausgestaltung bieten. Einige Fragen wurden nur angedeutet oder ganz offen gelassen. Ein Abschnitt über unendliche Produkte und die näherungsweise Berechnung unendlicher Reihen und Produkte im Anschluss an die Zeichnung musste aus Raummangel wegbleiben; hierüber gedenke ich später an anderer Stelle zu berichten.