19 den Wert von o zu bestimmen. Diese und zugleich auch die vorhergehende Aufgabe erfahren eine sehr einfache Lösung durch folgende Ueberlegung: Die Gerade An B treffe die Strecken Ai Bi in den Punkten En. Dann ist Ai Ei: AB= An Ai: An A oder

AB:K= G., † rq †... † 4*-):e 4—1 oder 1 4²2-1— 1— Ai Ei= K. 7*1 4..— 1 4* i= 1 qi— 1 Somit ist Bi Ei= Ai Bi— Ai Ei= K. qi— K qi* 35i K qr 95— 1 Im besonderen ist— 1 3. 1.= K qr A.er.

Für den Wert Ri, zu dem die Rente vom jährlichen Ratenbetrag B. E nach i Jahren angewachsen ist, ergibt sich

d. h. es ist Ri= Bi Ei.

Hieraus ergibt sich folgende Deutung: Wird von der Schuld A B= K jährlich die Summe B E= o abgezahlt, so hat nach einem Jahre die Schuld K den Wert Ai Bi, die Rückzahlung den Wert B. Ei, der noch verbleibende Rest den Wert A Ei. Nach zwei Jahren sind die entsprechenden Beträge A. B, B. Ea, A Ez. Allgemein stellt Ai Bi den Wert der Schuld nachen Jahren ohne Abzahlung dar, Bi Ei ist dann der Gesamtwert aller Abzahlungen vom Ratenbetrag 9, Ai Ei ist die Restschuld. Nachen Jahren ist dem- zufolge sowohl die Gesamtschuld als auch die Summe aller Abzahlungen gleich An Bu, d. h. die Schuld ist getilgt. Die Gerade An B liefert daher nicht nur auf der Strecke A B die gesuchte jährliche Tilgungsquote B E= 9, sondern auch auf jeder Strecke Ai Bi, die selbst den Wert der nicht getilgten Schuld am Zeitpunkt i angibt, den Wert aller Rückzahlungen und den Wert der Restschuld an diesem Zeitpunkt.

Ist, wie in der vorhergehenden Aufgabe, g bekannt und dafüren gesucht, so wird B E= e abgetragen und B mit E verbunden. Die Verbindungsgerade schneidet auf A Au den Punkt Ai(genau oder angenäâhert) aus, dessen Index i die gesuchte Zahl der Jahre angibt. Dar ohne Einfluss auf die vorstehenden Betrachtungen ist, kann die Zeichnung für eine beliebige Grösser ausgeführt werden. Trifft die Parallele zu A An durch B die Strecken Ai Bi in den Punkten Ci, so ist 9 B Ci zu wählen; für 9= B. C bleibt die Schuld konstant; für 9 B. C. wächst sie sogar weiter an. Die obigen Betrachtungen gelten auch noch für den letzten Fall, sodass auch hier wieder die Gesamt- schuld, die Restschuld und der Gesamtwert aller Abzahlungen an jedem Zeitpunkt i aus der Zeichnung abgelesen werden können. Rechnerisch ergibt sich für B. Ci der Wert

B CG.= A B.— AB= Kq- K= K(q— 1)= K 7155;

d. h. B. Cz stellt die jährlichen Zinsen des Kapitals K dar, woraus die Bedeutung dieser Strecke sofort einleuchtet.

Noch einige andere Strecken der Figur bieten ein besonderes Interesse. Wird die

Konstruktion bis zum Punkte An4 1 fortgesetzt, so stellt 1 4 Aurl= rd † rd: †. r4. † r4“= ra 1— †