18 Die Konstruktion leistet also ein zweifaches; sie liefert einerseits den Endwert eines Kapitals K und anderseits den Endwert einer hiervon unabhängigen Rente vom Ratenbetrag r. Handelt es sich nur um das Kapital K(Zinseszinsrechnung im engeren Sinne), so kann die Grösseer beliebig gewählt werden; ebenso kann die Zeichnung für ein beliebiges K durchgeführt werden, wenn nur die Rente in Frage kommt.

Im ersten Falle soll die Konstruktion die Gleichung = P“ Ka= K( 1+ 155)

veranschaulichen. Aus ihr lassen sich vier Grundaufgaben bilden, je nachdem Kn, K, p oder n gesucht ist. Die erste Aufgabe ist oben gelöst. Ebensoleicht lässt sich aber auch K aus den drei übrigen Grössen finden, wenn mit dem Trapez An-— 1 An Ba Bn-1 begonnen wird. Man beachte. dass An-1 An= rqp- beliebig gewählt werden kann und dass die

Strecke An-i Bn- 1= Kn ist. Isten die Unbekannte in der Gleichung, so wird vom

Trapez A A B. B beginend die Zeichnung solange fortgesetzt, bis Ai Bi= Kn oder bis Ai Bi KRua Ai 1 Bi4 1 wird; dann isten= i bezw. i n i+† 1. Die letzte Auf- gabe jedoch, p oder q aus K, Ka unden zu finden, ist konstruktiv nicht lösbar; immerhin lässt sich aus mehreren, für verschiedene Werte von p durchgeführten Zeichnungen der Wert von p angenähert ablesen. Die entsprechenden Betrachtungen für die Rentenformel Ra= r(=) —4— 1 mögen hier übergangen werden.

Von besonderer Bedeutung ist die Zeichnung, wenn es sich um die Verbindung der Zinseszins- mit der Rentenrechnung handelt, also um die Vermehrung oder Verminderung eines Kapitals durch eine Rente, d. h. also um die Gleichung —*— 1 4.= 1 Wird der Wert von Cu gesucht, so liefert die einfache Addition oder Subtraktion der Strecken A An und An Ba das Ergebnis. Von den übrigen Fällen ist der wichtigste der, dass für Ca= 0 der Wert von x aus der Gleichung

Cn= Kqua t r

Kqp*— r(a* 1)— 0 zu bestimmen ist, wenn also zu untersuchen ist, nach wieviel Jahren das Kapital K bei P% Zinsen durch jahrliche Abzahlungen von je r Mark amortisiert ist. Hier schneidet die Gerade A Bx, die mit A An den Winkel 45°bildet auf B Ba den Punkt Ba aus, der entweder mit einem bekannten Punkt Bi zusammenfällt oder zwischen Bi und Bi4† liegt. Dann ergibt sich für x entweder die Lösung x= i oder i XZ(i+ 1). Neben dieser Aufgabe erfordert noch besondere Beachtung die andere: Welche jährliche Abzahlung g ist zu leisten, damit das Kapital K bei p% nachen Jahren amor- tisiert ist? Algebraisch bedeutet dies, aus der Gleichung

„(qu— 1)— K qu= K 4. l 0