Bevor ich die Darstellung der Zinseszins- und Rentenrechnung auseinandersetze, wie ich sie im Unterricht benutzt habe, möchte ich kurz auf den Grundgedanken der Veranschaulichung hinweisen. Werden mit Ko, Ki, K,.... Kn die Werte des Kapitals am Anfang, nach 1, 2,.... n Jahren bezeichnet, so ist aus der grundlegenden algebraischen Betrachtung klar, dass jedes Ki mittlere Proportionale zu Ki- und Ki ist. Hiernach ergibt sich als einfachste Konstruktion die folgende(Figur 12):

Zeichne das rechtwinklige Dreieck A A O mit der einen Kathete OAo= K und der Hypotenuse OA= Kq; an OA lege das aàhnliche rechtwinklige Dreieck OA A, so dass die Winkel bei O übereinstimmen. Ebenso werden die folgenden Dreiecke konstruiert.

Dann ist O A= K. q*, O As= K. qB, O An= K. qq. Wird ferner Ao Ai= r

gesetzt, so ist A A= rq, A, As= rq*,. An— 1 An= rqu-1, also Ao Ai+ A A n—

++ An— 1 An= r Damit ist auch der Endwert einer nachschüssigen Rente

vom Ratenbetrager gefunden. Diese Darstellung hat allerdings den grossen Nachteil, dass r nicht beliebig gewählt werden kann, sondern durch K und p festgelegt ist. Diese Ein- schränkung lässt sich umgehen, wenn parallel zum Streckenzug Ao A Az... An der Streckenzug Co Ci C,... Cn so eingezeichnet wird, dass Co CGi=r wird(vergl. Figur 12). Ein weiterer Uebelstand liegt darin, dass die Strecken Ai AiJ 1 und damit auch deren Summe nicht in einer Geraden liegen und dass sich die ähnlichen Dreiecke für höhere Werte vonn überdecken. Diese Schwierigkeiten fallen weg, wenn an Stelle der Dreiecke ähnliche Trapeze treten. Deshalb habe ich folgende Darstellung vorgezogen(Figur 13):

Zeichne das Trapez A A B. B aus A Al= 1, A B= K, A B= Kq und X+ BAA=+ B. A A= 90⁰. Lege an B, Au das ähnliche Trapez Ai Az B Bi u. s. f. Dann fallen alle B und ebenso alle Ai in eine Gerade. Am einfachsten gestaltet sich die Konstruktion, wenn man beachtet, dass alle Ai Bi 1 und entsprechend alle Ai† 1 Bi unter sich parallel sind. Wird die Zeichnung bis An Ba durchgeführt, so stellt A B den Anfangs- wert des Kapitals dar, A B, den Wert nach einem Jahre,.... An Bu den Wert nach n Jahren. Beim Beweis ist nur zu beachten, dass

1:—.= AB: A B= A BIr: As B.= A., B.: As Ba=..... ist. In gleicher Weise läâsst sich die Bedeutung der Strecken Ai Ai† erkennen; es ist

namlich 1: q= AB: A. B= A Al: Ai As= Al Az: As As=.... Es ist also A Az= rq, A. As= rq*..... An—1 An= rqu- 1; n 1 daher ist A An= r † rd † rqs+.....+ rda-!=r f.

Die Strecke A An stellt also den Wert einer Rente vom Ratenbetrageer dar an dem Zeit- punkt, an dem die nte Zahlung erfolgt.

Die Zeichnung kann ohne Benutzung des Zirkels mit Lineal und Winkelhaken aus- geführt werden und liefert recht genaue Ergebnisse, zumal wenn die Richtung B Ba durch Benutzung des Winkels Cn B Ba= a festgesetzt wird. Es ist

7 Ka— K K K. p tge(.) o Grosse Vorteile bietet die Verwendung von Millimeterpapier.*) *) Auch auf die ähnliche Veranschaulichung von T h. Nonne, von der ich nachträglich Kenntnis erhielt,

sei hier hingewiesen; sie ist vorwiegend für den praktischen Gebrauch bestimmt.(Th. Nonne, Zinseszins- und Rentenberechnung mit Hilfe graphischer Darstellung. Berlin 1903.)