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23. log x— log z= log(X— 2) oder 2= X— 2.

Lösung: Wird x— z= u, also X= z+ u gesetzt, so lautet die Gleichung log(u+† z)— log z= log u oder log z+ log u= log(z+ u). Die Aufgabe ist damit auf die vorhergehende zurückgeführt; es werden zwei zusammen- gehörige Werte von z und u bestimmt und hieraus leicht das zugehörige X abgelesen. Auch die einzigen ganzzahligen positiven Lösungen X= 4, z= 2 sind hiernach leicht zu finden. Dass die in Aufgabe 22 und 23 angeführten positiven ganzzahligen Lösungen die einzigen sind, ist übrigens auch rein algebraisch leicht nachweisbar.

24. log x log z= log(X. z) oder log x. log z= log Xx+ log 2z oder log(X los z)= log(X. z) oder x los z= X. Z.

10 25. uer= w 2(*) oder e— log x— log oder X=() 6 ½ Losdag. Beide Aufgaben 193 auf die vorhergehenden zurückgeführt, wenn log x= u, log z= v als neue Unbekannte aufgefasst werden.

26.(log X)“= log(X). Lösung: Wird log x= u gesetzt, so geht die Gleichung über in 2—. die mit Aufgabe 13 übereinstimmt. u u 2.

27.— d)*+(log x)“= pe;(p= const.).(Figur 10).

Loösung: Ziehe den Kreis mit dem Radius p um den Punkt W(d; o); dieser treffe die Kurve in den Punkten N und E, deren Abszissen Lösungen der Gleichung darstellen. Ist p=(d— 1), so sind beide Werte für X 1; für p(d— 1) ist eine Lösung 1, also log x 0, die andere 1, also log x— 0. Von Interesse ist auch der Sonderfall *+(log x)*= p. Nicht ganz einfach ist es, den kleinsten Wert von p zu finden, für den ein vorgeschriebenes d noch eben eine Lösung liefert; immerhin kann er mit einiger Annâherung aus der Figur abgelesen werden.

Die vorstehenden Betrachtungen sollten zeigen, eine wie grosse Zahl von Aufgaben sich angenâhert durch Benutzung einer einzigen transzendenten Kurve lösen lässt; dabei ist hier durchaus noch keine Vollständigkeit erstrebt; auch kann die Zahl der Aufgaben durch Spezialisierungen und durch Aenderung der Konstanten noch vermehrt werden. Auf die Vorteile, die gerade in der Benutzung einer einzigen Kurve liegen, ist schon hingewiesen. Aus Raummangel kann ich hier auf andere Kurven, z. B. die Exponentialkurve, die Sinus- linie und Tangenslinie, nicht naher eingehen.

Mehrere der behandelten Aufgaben sind dadurch interessant, dass bei ihnen ausnahmsweise das assoziative oder kommutative Gesetz gilt, oder dass besondere Symmetrien vorliegen, z. B. bei den Aufgaben*)

X: z= log x: log z; Xz= z; log(X+ b)= log x+ b;(bx)“= bG*);

log x+ log y= log(X+† y); log x— log y= log(Xx— y);(log x)= log(X); log xX. log z= log(X 2); log x= log G cb.1= xb e;(x p)z=(z·. p*;

log 2 2

.()(): Xz= XX= r; XI. 21= 1; log x= X

*) z Vergl. hierüber auch den Habilitationsvortrag von R. Schimmack.(Zeitschr. für math. u. nat. Unter- richt 42. Jahrg., S. 569 u. f.)