11 5. X= k log(+ 1) oder a*=(+† 1)(Figur 6). Lösung: Trage im Punkte A(1; 0) an die x-Achse den Winkel an, dessen Tangens den Wert 1 hat. Der freie Schenkel von 6 treffe die Kurve in E; dann ist die
um 1 verminderte Abszisse von E der gesuchte Wert von x. Aehnlich ist die Lösung der allgemeinen Gleichung x= k log(X d) zu finden;
auch hier ist die Untersuchung der verschiedenen Werte von bezw. k wie in Aufgabe 4 durchzuführen.
6. 21= XE oder X: z= log x: log z(Figur 7).
Lösung: Ziehe durch den Koordinatenanfangspunkt O einen beliebigen Strahl, der die Kurve in den beiden Punkten C und E trifft. Hat E die Abszisse z= OD, C die Abszisse X= OB, so haben z und x die verlangte Eigenschaft, da BC= log OB, DE= log OD und OB: OD= BC: DE ist. Der Strahl kann jede beliebige Lage zwischen der x-Achse und der Tangente von O an die Kurve einnehmen. Im Grenafalle, wenn der Strahl zur Tangente wird, fallen x und z zusammen und haben beide den Wert e. Je weiter sich der Strahl von der Tangente entfernt, um so mehr sind die Werte von x und z verschieden, und zwar ist stets 1 CXSCe; z e, wenn 2 X vorausgesetzt wird. Aus der graphischen Darstellung ist natürlich nicht zu erkennen, welche rationalen Lösungen die vorgelegte Gleichung hat, wohl aber zeigt sie sofort, dass X= 2, z= 4 die einzige positive ganzzahlige Lösung ist, da für x überhaupt sonst keine ganze Zahl in Frage kommt.*)
7. x. 21= 1 oder X: z=— log x: log z(Figur 7).
Löosung: Ziehe zwei Strahlen vom Koordinatenanfangspunkt O, die mit der xX- Achse gleiche Winkel bilden. Der Strahl im ersten Quadranten treffe die Kurve in C und E mit den Abszissen zu und z9, der Strahl im vierten Quadranten treffe die Kurve in F mit der Abszisse OG= x. Dann stellen zu, X und z,, X je ein Paar von Lösungen dar, was sofort einleuchtet, wenn beachtet wird, dass der absolute Wert der Strecke GF
die Grösse(— log x) darstellt. Ueber die Grenzlage der von O ausgehenden Strahlen gibt Aufgabe 6 Auskunft.
8. bæ= xe oder xX. log b= c. log x oder: logXx= G: log b(Figur 7). Lösung: Bestimme den Punkt J mit den Koordinaten OH= c, H)J= log b. [OL= b. LK= log b.] Die Verbindungsgerade O] trifft dann die Kurve i. a. in zwei
Punkten C und E, deren Abszissen x je eine Lösung der Aufgabe darstellen. Nach Auf- gabe 6 müssen die gegebenen Grössen b und c der Bedingung genügen
log b loge e c= ée Wird für log b der Wert k gesetzt, so stimmt die Gleichung mit No. 4 überein. 4 1 1 9. ax=-/ x oder X. log a= 4. log Xx oder 1 log Xx.
Die Lösung ist leicht auf die von No. 4 oder No. 8 zurückzuführen.
.. 1Yn 1yn+† 1 *) Der Nachweis dafür, dass alle rationalen Lösungen der Gleichung in X=(+ ¹) 2=(+ 1) † enthalten sind und ein einfacher rein algebraischer Beweis dafür, dass X= 2, z= 4 die einzigen ganzzahligen positiven Lösungen der Gleichung sind, findet sich in den Unterrichtsblättern 17. Jahrgang(1911) No. 4.