9 Auch logarithmisch unterbrochene Rechnungen lassen sich so konstruktiv durch- führen.(In Figur 5 sind die beiden Beispiele für a= 6, b= 4,—= 3, d= 13, 2= 4 zeichnerisch gelöst) Recht interessant sind auch Aufgaben aus der Trigonometrie, z. B.

die graphische Berechnung eines Dreiecks nach dem Sinussatz, wenn die beiden Kurven y= log x und y= log sin x in das gleiche Koordinatensystem eingetragen werden.

An dem Beispiel der logarithmischen Linie möge ferner gezeigt werden, wie sich durch eine feste Kurve und weitere leicht einzuzeichnende Geraden eine grosse Zahl von Gleichungen recht einfach angenähert lôsen lässt. Um die Bedeutung solcher Aufgaben klar hervorzuheben, mõchte ich auf eine schon seither in dieser Weise behandelte Aufgaben- gruppe verweisen, nämlich auf die quadratische Gleichung von der Form

x* †+ ax † b= 0.

Ursprünglich hat man die Funktion y= x+ ax+ b als Kurve graphisch dargestellt und deren Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmt. Neuerdings werden die Wurzeln der Gleichung als Schnittpunkte der Parabel y= xe und der Geraden y=— ax— b gefunden. Es muss also die Parabel nur einmal gut gezeichnet werden, um für alle quadratischen Gleichungen brauchbar zu sein; die Gerade, die für jede Gleichung eine andere ist, kann leicht in Blei zugefügt werden. Man braucht nur einige Beispiele wirklich zeichnerisch durchzuführen, um sofort den grossen Vorteil einzusehen. Die gleiche Erleichterung bieten manche andere Kurven; im Nachfolgenden soll dies an einer Reihe von Aufgaben gezeigt werden, die sich an die logarithmische Kurve anschliessen. Vorausgehen möge eine kurze Betrachtung über die Tangente der logarithmischen Linie.

log e. Soll die Tangente

Die Richtungskonstante der Kurve y= log x ist y=1

vom Nullpunkt ausgehen, so ist y“= X, also y= log e; X= e, d. h. die Tangente vom

Nullpunkt berührt im Punkt C(e; log e), bei Benutzung natürlicher Logarithmen im Punkt(e; 1); die Abszisse des Berührungspunktes ist also von der Basis des Systems unabhängig.

Ist die Tangente in einem beliebigen Punkte E an die Kurve zu ziehen, so wird am praktischsten der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse G(0; r) bestimmt. Für den Neigungswinkel a der Tangente besteht die Beziehung(Figur 6):

E H y— r

—1 tg a= y boge i 8.:

es ist also y=r+ log e; r= y— log e. Damit ist der Punkt G festgelegt. Die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt E(xi; yi) an die Kurve y= log x ist daher die Verbindungsgerade dieses Punktes mit dem Punkte G(o; y— log e). Wie umgekehrt die Tangente zu zeichnen ist, wenner bekannt ist, aber nicht der Berührungspunkt, ist leicht einzusehen.

In allen folgenden Aufgaben soll mit a(—½ 1) die Basis des benutzten Logarithmen- systems bezeichnet werden.

1. X+ log x= c oder ac- X= x.(Figur 6).

Lösung: Trage OF= OM= c in positiver Richtung auf den Achsen ab. Schneidet FM die Linie y= log x in P, so ist die Abszisse ON von P die gesuchte Lösung, weil NP= NM= log ON ist. Da FM mit der negativen Richtung der X-Achse