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Beispiel: Kurve II in Figur 4 stellt die Funktionsgleichung 100 y= xX— 18 xXBS+ 236

dar; hier istn= 4, m= 3, a= 18, b= 236, 2n— 2m+ 1= 3. XI= 0liefert das Maximum A, 3

Xx /12 das Minimum B. Dass die entsprechende Bestimmungsgleichung drei reelle

L6 h j j. ösungen hat, ergibt sich aus yman.=⸗ b= 236„ o;

6 ymin.= 123— 18(12)3+ 236= 12 ²(12— 18)+ 236 o.

Wie sich die Betrachtung für a= o gestaltet, ist leicht einzusehen.

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ll. Die logarithmische Linie.

Bei der Durchnahme der Logarithmen wird wohl fast allgemein die logarithmische Kurve gezeichnet; aber meist verzichtet man darauf, eingehendere Betrachtungen daran anzuschliessen, obwohl die hierauf verwendete Zeit und Mühe reichlich Früchte bringt. Man beschräânke sich nicht auf die Basis 10, sondern ziehe auch andere Falle heran, vor allem die sehr übersichtliche Kurve für die Basis 2, die auch den Vorteil hat, dass sie für allgemeine Betrachtungen ohne grosse Kechnungen rasch befriedigend genau gezeichnet werden kann: auch ist für sie eine Streckung in der Richtung der Ordinaten i. a. nicht erforderlich. Die an die Kurve angeschlossenen Betrachtungen sollen natürlich die rein algebraischen nicht überflüssig machen, sondern sie sollen nur dazu dienen, diese zu stützen, zu veranschaulichen und dem Verstande und dem Gedächtnis zugänglicher zu machen.

An zwei für verschiedene Basis gezeichneten Kurven lässt sich die Abhängigkeit der Grösse des Logarithmus von der Grösse der Basis studieren und der Begriff des Modulus entwickeln. Ferner kann festgestellt werden, dass alle Kurven durch den Punkt X= 1; yI= 0 gehen müssen. Besonders deutlich erkennt man an der Kurve mit der Basis 2, wie ein Fortschreiten in der Richtung der x-Achse in geometrischer Reihe einem Anwachsen der Ordinaten in arithmetischer Reihe entspricht. Man vergleiche z. B. die Punkte(½;— 1),(1: 0),(2; 1),(4; 2),(8; 3),(16 4) u. s. f. Hieraus kommt man leicht

zu den Formeln für log(a. b), log p log ab, log ſa. Besonders wichtig erscheint mir,

dass auch Rechnungen zeichnerisch an der Kurve ausgeführt werden, was wohl bisher kaum geschehen ist. Es genügt, die logarithmische Linie einmal sauber und genau in Tusche herzustellen; die weiteren Linien werden in Blei eingetragen, damit sie nach Bedarf wieder

leicht wegradiert werden können. Einige Beispiele mögen das Verfahren erläutern(Figur 5): . b 2.. 1. 21=— die zu den Abszissen a und b gehörigen Ordinaten werden addiert

und um die Ordinate von c vermindert. Die Abszisse des Punktes, der diese Differenz als Ordinate hat, ist 2z1. n

2. 22= X/dm; d wird als Abszisse abgetragen, die zugehörige Ordinate in n Teile

geteilt; vom mten Teilpunkt wird die Parallele zur X-Achse bis zum Schnittpunkt mit der Kurve gezogen; die Abszisse dieses Punktes ist z9.