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Damit also die kubische Gleichung drei getrennte reelle Lösungen hat, sind zwei Bedingungen zu erfüllen:

1. Die Kurve muss die Gestalt I haben, d. h. sie muss ein Maximum und ein Minimum besitzen; 2. A und B müssen auf verschiedenen Seiten der x-Achse liegen, d. h. das Maximum muss positiv, das Minimum negativ sein. Hiernach gestaltet sich die Rechnung folgendermassen: Aus y= X— px— qd folgt y= 3*— p, S= 6 xX. Demnach hat die Kurve stets einen Wendepunkt im Schnittpunkt mit der y-Achse.

-.....— Ferner folgt aus y“= o, dass das Maximum für X—— V das Minimum für X=+ 4

eintritt; d. h. p o bedingt, dass ein Maximum und ein Minimum existiert, dass also die Kurve von der Forml und damit die erste Bedingung erfüllt ist. Für p= o kann also die kubische Gleichung niemals drei reelle Wurzeln besitzen; dies geht übrigens auch schon daraus hervor, dass die Wendetangente für p=o eine positive Richtungskonstante besitzt.

Sobald p o ist, wird auch die zweite Bedingung erfüllt, wenn ymax.* 0, ymin. 0

1 3 ist, d. h. wenn ymas.= V2— p( V 2)——9= 5 4— q—po,

ven=(+ V)=v(VV)- 4=* P— q Co wird.

3 Es muss also sein

3

2 1/p ichzeiti 22 X/p 44 VI und gleichzeitig—— 2 85 Da p o, q S o ist, lassen sich beide Bedingungen vereinigen zu der einen

43 4 12 p N3 —² 27 oder(4)(G)“

2 Sobald(9—(2) ist, wird ymax= 0 oder ymin.= o, also geht die X-Achse durch A oder B, d. h. die kubische Gleichung hat zwei zusammenfallende Wurzeln und

eine getrennt davon liegende. Die Kurve II entspricht dem Falle p= o; sie liefert für

—

düy= o die drei zusammenfallenden Losungen X= Xe= X= 0, für q— o dagegen nur

eine reelle Lösung. Die vorstehende Betrachtung lässt sich leicht auf die allgemeine trinomische Gleichung

xn 4i— ax— b 0 übertragen. Die graphische Darstellung der Gleichung y= X2+‿1— ax— b liefert eine ähnliche Kurve wie die kubische Parabel, wobei auch hier wieder die drei verschiedenen Formen zu unterscheiden sind.(Vergl. Figur 3. I= 10y= x5— 10 x+ 12; II= 10y= X+ 10 x— 30). Auch die Rechnung ist entsprechend. Aus

y= X2n+1— ax— b folgt

y=(2n+ 1) X2— a

y“ 2n(2n+ 1) x2n- 1.