4 Ausnahmsweise mag die graphische Methode als einzige auch da Platz greifen, wo es sich um mehr nebensächliche Fragen, Anwendungen oder Uebungen handelt. S0 hat z. B. Misar den graphischen Nachweis dafür erbracht, dass das arithmetische und das geometrische Mittel zweier Zahlen a und b, die sich nur wenig unterscheiden, nahezu über- einstimmt*). Hierdurch angeregt, habe ich im Unterricht eine etwas einfachere Darstellung gebracht, die auch das harmonische Mittel aufweist.
In Figur 1 sei AB= b, BC= a, AM= 2 4 4. Um M werde der Halbkreis mit 21 1 gezogen, ferner BD 4 AB bis zum Halbkreis; schliesslich werde noch BE£ MD
2 a+b
gefällt. Dann ist MD=— das arithmetische Mittel von a und b; ebenso ist BD= Vab
2 das geometrische Mittel. Aus DE. DM= DBꝰ ergibt sich schliesslich DB² ab 2 ab bEah Th 2
d. h. DE ist das harmonische Mittel von a und b. Die Figur zeigt sofort, dass das arithmetische Mittel grösser ist als das geometrische und dieses wieder grösser als das harmonische. Zugleich ersieht man, dass das geometrische Mittel von a und b zugleich das geometrische Mittel zwischen dem arithmetischen und harmonischen ist. Je mehr sich die Werte von a und b nähern, um so kleiner werden BM und BE, und um so mehr nähern sich die drei Mittel, um für a= b denselben Wert zu erreichen.
Im Nachfolgenden möõchte ich an einigen Beispielen ausführlicher zeigen, wie die graphischen Methoden für den algebraischen Unterricht verwertet werden können.
lI. Die Diskriminante der kubischen Gleichung und der trinomischen Gleichung-+— ax— b= O.**)
Die kubische Gleichung ε— px— ¶⁊=0 hat entweder drei reelle Lösungen oder eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Um zu untersuchen, ob der eine oder der andere Fall eintritt, wird die Funktionsgleichung y= xs— px— q graphisch dar- gestellt und die Zahl ihrer Schnittpunkte mit der X-Achse bestimmt. Die Kurve hat ungefähr die Gestalt der kubischen Parabel und zwar eine der Formen l, II, III der Figur 2. Kurve III hat kein Maximum und kein Minimum; eine Parallele zur X-Achse kann sie nur in einem Punkte treffen. Kurve I dagegen hat ein Maximum A und ein Minimum B; jede zwischen A und B parallel zur x-Achse verlaufende Gerade trifft sie in drei Punkten; eine durch A oder B gehende Parallele trifft sie in zwei zusammenfallenden und in einem getrennt hiervon liegenden Punkte; alle übrigen Parallelen treffen die Kurve nur in einem Punkte. Den Uebergang zwischen Kurve l und III bildet die Kurve II; alle horizontalen Geraden treffen sie nur in einem Punkte, nur eine, die durch C gehende, trifft sie in drei zusammenfallenden Punkten.
*) Zeitschr. f. math. u. nat. Unterricht, Bd. 41, 8. 193. Inzwischen sind in der gleichen Zeitschrift noch einige andere Darstellungen veröffentlicht worden, die z. T. auch das harmonische Mittel berücksichtigen.
*) Vergl. hierüber auch die kürzlich erschienene Abhandlung von Weill in der Zeitschr. f. math. u. nat. Unterricht, Bd. 43, S. 418— 422.
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