Der Mathematiker, der mit Dedekind verlangt, dass„die Arithmetik sich aus sich selbst heraus entwickeln soll“, sucht die graphischen Methoden in der Algebra ganz zu vermeiden; er ist erst dann befriedigt, wenn er seine Beobachtungen völlig hiervon loslösen kann. Wenn man auch vom rein wissenschaftlichen Standpunkt dieser Forderung zustimmen wird, darf man sie doch nicht ohne weiteres auf den algebraischen Unterricht in der Schule übertragen. Denn der Anfänger ist gar nicht imstande, einem rein wissenschaft- lichen, völlig abstrakten Unterricht zu folgen; die Schule kann höchstens allmählich das Bedürfnis nach einer geometriefreien Arithmetik wecken und an geeigneten Stellen die Wege dazu zeigen. Wie fruchtbar sich im Gegenteil die graphischen Methoden im mathe- matischen Unterricht erweisen, haben die Reformbestrebungen im letzten Jahrzehnt dargetan.

Es ist wohl interessant, die Entwicklung dieser Bewegung genauer zu verfolgen; hier sei nur auf einen Punkt hingewiesen. Während man anfangs zum Verständnis des Funktionsbegriffes die empirischen Darstellungen, oft in wahlloser Folge, recht umfangreich zur Geltung kommen liess, z. B. solche aus der Statistik, der Wirtschaftskunde, der Erd- kunde, der Meteorologie u. a. m., so ist man heute hierin etwas sparsamer geworden; man begnügt sich mit den wichtigsten und charakteristischsten Fällen. Dagegen werden die graphischen Methoden in der Arithmetik und Algebra mehr in den Vordergrund gerückt. Sie können hier einen doppelten Zweck erfüllen. Entweder sie dienen dazu, die für den Schüler recht abstrakten Operationen und Versuche zu veranschaulichen und zu beleben, oder sie ersetzen sogar die rein algebraischen Rechnungen und Ueberlegungen. Als Bei- spiele für die erste Art mõöchte ich die bekannte Darstellung der Formel(a+ b) 2= a²+ 2ab+ bꝛ und die später erwähnte Veranschaulichung des Rechnens mit Logarithmen nennen.

Bis zu welchem Grade die geometrischen Betrachtungen neben den algebraischen ihr Recht haben sollen, lässt sich nicht allgemein sagen; doch muss stets die algebraische Methode die wichtigste Stelle einnehmen Handelt es sich z. B. um die Auflösung einer quadratischen Gleichung oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, so wird wohl allgemein zugestanden werden, dass die algebraische Auflösung von keinem Schüler vergessen werden darf, während die graphische Methode auch entbehrt werden könnte. Haufig fällt dieser nur die Aufgabe zu, bei der Einführung in ein neues Gebiet, das Interesse auch der schwächeren Schüler zu wecken und das Verständnis für die rein arithmetischen Betrachtungen zu erleichtern und zu vertiefen, wâhrend sie bei den folgenden Uebungen wieder ganz zurücktritt. Nur selten wird sie die algebraische Behandlung voll- ständig ersetzen dürfen, wohl nur dann, wenn sie allgemeiner, viel einfacher und anschaulicher ist und wenn diese mit Rücksicht auf den allgemeinen Lehrplan nicht hinreichend geübt werden kann. Hierher gehört z. B. die Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades im Gymnasium, zumal die geometrische Methode, die allerdings nur angenäherte Ergebnisse liefert, auch auf höhere Gleichungen angewandt werden kann.