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In dieser Form lässt die transcendente Curve keine gründliche Discussion zu. Eher gelangt man auf jenem anderen Wege dazu, der unter allen Umständen wenig- stens eine einfache, endliche Gleichung liefert. Es wird nämlich

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vo?+ 2gy= r1— und dx—— cos4 rdr, 1 oder— B X+ Const.= 4 4 m 21+ 32 din 41.

Die Bestimmung der Constanten hat für die letzten beiden Fälle keine Bedeutung. Alle übrigen Werte des Verhältnisses n zwischen der Normalcomponenten der Schwere und der Centrifugalkraft gestatten keine Integrationen in endlicher Form. Die Gleichungen mit r lassen höchstens noch eine Gesetzmässigkeit für ganze positive oder negative Werte von n verfolgen. Auch die auftretenden Differentialgleichungen bieten bis auf eine ein- zige kein Interesse.

1 . Bei dieser Annahme ist ⁴de— dy VIkK+ 2gy)— 1 Setzt man kevo+ 2gy)= 2gx E 1= 0 6)= 28(32+ v)= m, dy so ist dx= V. 5 1 9„ 2 1 und dx= 2 4.— m4— 2⁴

Man erkennt hier die Differentialgleichung der elastischen Curve(curva elastica, courbe élastique), die zuerst von Jacob Bernoulli(act. erudit. 1694 p. 272, 1695 p. 538) aufgestellt wurde. Ihre Gleichungen in r sind:

1 Akg Wcos* dr.

vo?+ 2gy= V cos und dx=— k Die hier auftretenden elliptischen Integrale setzen der gewönlichen Art der Be- trachtung ein Hinderniss entgegen. Indessen lässt sich leicht aus der Gleichung zwischen x und y eine einfache Beziehung zum Krümmungsradius ableiten.