— I. Das Problem für die Bewegung in der Ebene.

1. Gegeben Kraftgesetz und Anfangsgeschwindigkeit, gesucht die Bahn.

2. Gegeben die Bahn und die Anfangsgeschwindigkeit, gesucht das Kraftgesetz.

3. Behandlung von Ii u. Iz. mit Berücksichtigung von Reibung u. Widerstand.

„ II. Das Problem für die Bewegung im Raume.

A. Auf einer doppelt gekrümmten Curve nach den Gesichtspunkten 1, 2 und 3.

und schliesslich

B. auf einer Fläche.

Allerdings hat Euler diese Aufgaben lange nicht alle gelöst, teilweise nur ange- deutet, darunter z. B. diejenigen, in denen gewisse Verhältnisse zwischen den Bestandteilen des Normaldrucks gegeben sind, sodass also noch genug zu thun übrig bleibt. Er ist übrigens der erste, der diese Classe von Curven in Verbindung mit den brachystochronen Curven bringt, indem er das wichtige Gesetz ableitet:

Wie auch die antreibenden Kräfte beschaffen sein mögen, so ist diejenige Linie die brachystochrone, gegen welche der auf ihr sich be- wegende Körper einen doppelt so starken Druck ausübt, als vermöge der Centrifugal- oder Normalkraft(der antreib. Kraft) allein hervorge- bracht werden würde.— Im Einzelnen hat der berühmte Geometer noch den Ein- fluss des Auf- und Absteigens und der Anfangsgeschwindigkeit auf die Gestalt der Curven untersucht. Ebenso merkwürdig sind schliesslich die entwickelten Beziehungen der Fallhöhen, Fallgeschwindigkeiten und Fallzeiten unter sich und zur Curve.

Das Problem Ii ist von Euler am ausführlichsten behandelt worden, die Gleichung seiner Curve für den Specialfall N+ C= absolutes Gewicht ist vom fünften Grade und stimmt vortrefflich mit der Lösung von l'Hôpital und Varignon überein. Eine genaue Discussion dieser Curve und eine eigentümliche Art ihrer Ableitung habe ich bei einer anderen Gelegenheit gegeben.

Abgesehen von unbedeutenden Anknüpfungen an unser Problem finde ich bis zur Neuzeit keine weitere Behandlung desselben, nur Pater Jullien bringt es und ähnliche in seinen Probléêmes de mécanique rationelle I. pg. 405 als Auszug aus den Ar- beiten von PHôpital, Varignon und Euler, auch er schenkt dem resultirenden Integrale keine weitere Aufmerksamkeit. Erwähnung verdient ferner noch eine kurze allgemeine Darstellung von dem Engländer B. Peirce in dessen Physical and celestial Mechanic, worin es pg. 370§. 647 heisst:„The curve, in which the law of pressure is everywhere the same, may be called a„barytrope“, and that barytrope in which the pressure is everywhere the same may be called a„tautobaryd.“

II.

Bei der Durchsicht der genannten Arbeiten über die barytropen und tautobary- den Gurven erschien mir ein besonderer Fall der barytropen Bewegung noch zu wenig untersucht. Bezeichnet man nämlich unter der Voraussetzung, dass die vorgeschrie- ebne Bahn eine ebene sei, die Normalcomponente der treibenden Kräfte mit N, die Geschwindigkeit in einem bestimmten Punkte mit v und den entsprechenden Krümmungs-