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Die merkwürdige, etwas unklare Unterscheidung zwischen„force“ und„impression“ hat Saurin gemacht und dadurch dem Irrtum vorgebeugt, als wären beide Lösungen, die von l'Hôpital und Parent, richtig. Saurin hat sodann nachgewiesen, dass die „impression“ beim Kreise wächst, also nicht wie bei der Oycloide gleichbleibt.— Unter impression ist hier wahrscheinlich dasjenige zu verstehen, was wir jetzt„Arbeit“ nennen; eine Bedeutung für die spätere Entwicklung hat dieser Fall nicht, wiewohl man ganz gut die Forderung so stellen könnte, dass die in jedem Curvenpunkte geleistete Arbeit oder die jewcilige lebendige Kraft einer gewissen gegebenen Function gleich sei.

Weitaus die bedeutendste Arbeit liefert VYarignon:„Sur une integrale donnée par M. le marquis de l'Hôpital ou sur les pressions des courbes en général.“ Hist. et mém. de l'acad des scienc. 1710. pg. 129 u. 196. Amsterd. Jede spätere Behandlung muss notwendig Varignons Entwicklungen berücksichtigen. Die Integrationsmethode von l'Hô- pital wird erweitert und der Normaldruck als beliebige Function aufgefasst, aus der man schon reelle und imaginäre Dösungen zieht. Varignon zeigt, dass bei veränder- licher Druckkraft die Ordinate der Curve(bei der üblichen Wahl desselben, nie unendlich werden kann und erhält die Cycloide nach Parent, den Kreis nach Saurin, sowie unter der Voraussetzung, dass die Druckkräfte dem Quadrate der Fallhöhen proportional sind, die elastische Curve.

Den Fall, dass nur die Centrifugalkraft und nicht die Schwerkraft wirke, unter- sucht Varignon mit Hülfe desselben Integrals und gelangt zu ganz ähnlichen Curven, wie wenn letztere noch mitwirke. Wird nun gar die Centrifugalkraft(C) constant, so er- geben sich 2 Lösungen, eine reelle und eine imaginäre.— Ganz ähnlich untersucht er den Fall, dass die Schwerkraft resp. ihre Componente(N) allein wirke und deutet auch auf die Bestimmung eines Verhältnisses zwischen N und C. hin.

Solche Lösungen des Problems setzen die damals neuen Entdeckungen der ana- lytischen Geometrie in helles Licht und ermöglichen auch die Behandlung für ein widerstehendes Mittel. Die Hist. et mém. de l'acad. d. sc. 1742 berichten p. 78 über die Arbeit eines jungen Irländers d'Arcy:„Sur la courbe d'égale pression dans un milien résistant.“ Dieser nimmt den Normaldruck(N+ C) als constant und den Widerstand des Mittels nach Newton dem Quadrate der Ge schwindigkeit proportional an.—

Es bleibt einem Euler vorbehalten, die Aufgabe in den richtigen Zusammenhang mit dem erst durch ihn begründeten Lehrgebäude einer analytischen Mechanik zu bringen.(Mecanica. II. pg. 87. sq. Ausgabe von Wolfers.) Die Lösung erscheint zuerst als Anwendung der Theorie der nicht freien Bewegung und wird mit Benutzung der Abhandlung von Varignon ziemlich erschöpft. Interessant sind namentlich die scharfsinnigen Umkehrungen des Problems, dem er so von allen Seiten zu Leibe geht. Die Integrationen sind zwar unseren neuen, eleganteren Methoden gegenüber etwas fremdartig, aber scharf- sinnig genug, um studiert zu werden.

Nachdem Euler das Ganze von so allgemeinem Standpunkte aus betrachtet hat, scheint es recht nützlich zu sein, die einzelnen Seiten des Problems unter folgenden Gesichts- punkten zusammenzufassen. Seine Behandlung gliedert sich ungefähr folgendermassen: