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Die einzelnen Schichten laſſen ſich ſo verſinnlichen: 000 hat 1. 3 Kugeln,

Die erſte Schicht

„ zweite„

„ dritte„

„ vierte„

fünfte

Aus dieſer Darſtellung erkennt man

0000 0000

00000 00000 00000

000000 000000 000000 000000

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

*

7

2(3+ 1)= 8 Kugeln,

3(63+ 2)= 15

4(3+ 3)= 24

5(3+ 4)= 35

1) daß die Anzahl der Kugeln in der kleineren Seite der unterſten Schicht die Anzahl der

Schichten des ganzen Haufens bezeichnet, hier 5;

2) daß der Unterſchied der größeren und kleineren Seite jeder Schicht eine beſtändige Größe iſt, weil jede Reihe der folgenden Schicht eine Kugel mehr hat, als jede Reihe der vor⸗ hergehenden, hier iſt dieſer Unterſchied 3— 1= 2, 4— 2= 2, 5— 3= 2,

6— 4= 2 u. ſ. w.

3) daß die erſte Schicht immer um 1 größer iſt, als der beſtändige Unterſchied, denn aus

3— 1= 2 folgt 3= 1+ 2;

4) daß man alſo, wenn die Anzahl Kugeln der beiden Seiten irgend einer Schicht bekannt ſind, die oberſte Schicht erhält, wenn man zu dem Unterſchiede 1 zählt. Fragt man hier nach der Anzahl der Kugeln eines vollſtändigen Haufens von n Schichten,

man dieſe auf folgende Weiſe:

wenn die erſte Schicht= a Kugeln enthält, ſo findet

Die erſte Schicht hat a

„ zweite„„ 2(a+ 1) „ dritte„ 3(a+ 2) „ vierte„„ 4(a+ 3)

„ nte 1„ n(4 Tn— 1)

Die Summe aller Kugeln beſteht hiernach aus zwei Theilen 1 a+ 2 a+ 3a+ 4 a †na ⸗=(1+ 2+ 3+ 4+. P— n) a, 2+ 6+ 12+ 20+ 30+...+(n+ 1) n. Nach§. 1 iſt der Werth des erſten Theils

n

n+ 1 1.2——

1 a Kugeln,

1