die vierte Schicht 000 hat 1+˖ 2+ 3+ 4= 10 Kugeln,

00 die fünfte Schicht 000 hat 1+ 2+ 3+ 4+† 5= 15 Kugeln u. ſ. w. 0000

00000

Aus dieſer Darſtellung erſieht man, daß die Kugeln jeder Schicht ein gleichſeitiges Dreieck bilden, weswegen man die Glieder der Reihe 1, 3, 6, 10,.... Dreieckszahlen nennt; daß ferner die Seiten der auf einander folgenden Schichten immer um eine Kugel zu⸗ nehmen, daß alſo die Anzahl der Kugeln in einer Seite der unterſten Schicht zugleich die Anzahl aller Schichten bezeichnet. Hat hiernach der Kugelhaufen n Schichten, ſo enthält die nte Schicht

1+ 2+ 341..= 201 420 Kugeln,§. 1, und die Summe aller Kugeln dieſer n Schichten iſt 1 4 3 †. 6 †. 10 † 15 4. 4 69— 9= 2h 8542 Kugeln,§. 2.

Beiſpiele. 1) Ein vollſtändiger Kugelhaufen habe 24 Schichten; wieviel Kugeln ruhen auf dem Boden und wieviel enthält der ganze Haufen?

Auflöſung. Auf dem Boden ruhen ,== 300 Kugeln, der ganze Haufen hat 243 2.= 2600 Kugeln.

2) Auf dem Boden eines vollſtändigen Haufens ruhen 465 Kugeln; wieviel Schichten hat er und wieviel Kugeln hat derſelbe?

Auflöſung. Der Haufen habe X Schichten, dann hat auch die Seite der unterſten Schich

x Kugeln, daher die Gleichung 2 G e= 465, woraus x= 30, mithin

hat der ganze Haufen 30 Schichten und enthält— 1 32

Iſt der Haufen unvollſtändug, ſo findet man die Anzahl ſeiner Kugeln, wenn man vom ganzen Haufen den fehlenden Theil abzieht.

Da die Anzahl der Kugeln in jeder Seite der unterſten Schicht mit der Anzahl der Schichten des ganzen Haufens übereinſtimmt und jede Seite einer Schicht aufwärts eine Kugel weniger hat, als die darunter liegende, ſo läßt ſich obige Aufgabe allgemein in folgender Weiſe löſen.

Jede Seite der unterſten Schicht eines unvollſtändigen Haufens habe n Kugeln, jede Seite der oberſten Schicht m Kugeln; ſo hat die nächſte fehlende Schicht in jeder Seite m—

Kugeln, der fehlende Haufen alſo auch m— 1 Schichten. Der vollſtändige Haufen würde daher

= 4360 Kugeln.