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Hauptreihe 1+ 32+ 243+ 1024+ 3125+ 7776+ 16807+ 32768 †... erſte Diffr. 31+† 211+ 781+ 2101+ 4651+ 9031+ 15961+..... zweite„ 180+† 570+ 1320+ 2550+ 4380+₰ 6930+..... dritte„ 390+† 750+ 1230+ 1830+ 2550+..... vierte„ 360+ 480 † 600+ 720 †.... fünfte„ 120+ 120 † 120 †....

daher

n(n— 1) n(n- 1)(n— 2) n(n— 1)(n— 2)(n— 3) S= n. 1+ 1—5 31 r., z.180+ 12. 390

n(n— 1)(n— 2)(n— 3)(n— 4) n(nßy= ¹)(n— 2)(n— 3)(n— 4)(n— 5) 120 i T. 3 1. 360 † 1.T 3i F n120. Für n= 8 erhält man 8. 7.31 8. 7. 6. 180 8. 7. 6. 5 390 =———,—+

8 8 1.2 4 1. 2. 3 †4 1. 2. 3 4

8. 7. 6. 5. 4. 360 8 7„ 6 5 4. 3. 120 1 1

1. 2. 3. 4. 5 12. 3. 4 5 6

= 61776.

Anmerkung. Die arithmetiſchen Reihen, z. B. die allgemeine Zahlenreihe,.... heißen Reihen erſter Ordnung; die nächſten hiervon gebildeten Reihen ſind ſolche zweiter Ordnung; die nächſten daraus abgeleiteten ſind ſelche dritter Ordnung u. ſ. w. Der Grund dieſer Benennung liegt darin, daß bei den Reihen erſter Ord⸗ nung ſchon die erſte Differenzreihe lauter gleiche Glieder hat, bei den Reihen zweiter Ordnung die zweite Differenz⸗ reihe u. ſ. w.

Anwendungen.

§. 20.

Die Glieder der entwickelten Reihen werden figurirte Zahlen genannt, weil ſich die verkörperten Einheiten derſelben, z. B. Kugeln, in Linien, reguläre Polygone und Pyramiden ſchichten laſſen. Die für dieſe Reihen gefundenen Formeln dienen zur Berech⸗ nung der Kugelhaufen, welche man in Zeughäuſern auf zweierlei Weiſe aufſetzt.

I. Jede Kugel ruht auf drei Kugeln.

Iſt ein Haufen vollſtändig, ſo bildet er eine dreiſeitige Pyramide, deren Spitze eine Kugel iſt, die auf drei Kugeln ruht, dieſe ruhen auf ſechs, dieſe auf zehn, dieſe auf fünfzehn Kugeln u. ſ. w., was in folgender Weiſe veranſchaulicht wird:

Die erſte Schicht 0 hat 1 Kugel,

die zweite„ 0.„ 1+ 2= 3 Kugeln,

0 die dritte„ 00„ 1+ 2+† 3= 6 Kugeln, 000 3