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Fig. 2. D§ 2. In dem vorigen§. iſt angenommen worden, daß die

urſprüngliche Linie während der Bewegung eine unveränderliche

v Größe bleibe. Es läßt ſich aber mit der Bewegung der Linie AC

(Fig. 2) gleichzeitig auch noch ein Wachſen derſelben in der Art

denken, daß der Weg AB, den der Endpunkt B der beweglichen

Linie macht, in dem Punkte A auf der Linie AC ſenkrecht ſtehe.

A E Hält man hier gleichfalls die Verſchiedenheit je zweier Richtungen

AC und BC feſt, ſo iſt klar, daß bei der Bewegung der Linie

AC nach BC hin der Abſtand A B des Punktes B von der urſprünglichen Richtung A C, ſo⸗

wie auch der Winkel am Punkte C, von Null an ſtetig wachſen; daß aber von einem beſtimmten

Winkel x der Abſtand AB, und von einem beſtimmten Abſtande AB der Winkel x abhängt.

Sieht man wieder die Größe der urſprünglichen Linie AC als das Ganze an, ſo wird bei aller

Veränderlichkeit des Winkels und des Abſtandes während der Bewegung für irgend einen Winkel

x das ihm entſprechende Loth AB, da es von Null an wächſt, mehr oder weniger Theile dieſes Ganzen enthalten.

Für jede andere Hauptlinie C E wird das Loth D E gleichfalls mehr oder weniger Theile

der Linie CE betrageu. Nun folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ABC, ED C die Proportion:

AB:AC= ED: EC oder 4 E woraus ſich ergibt, daß die Abſtände AB und

AC fC ED gleich viele Theile von ihren reſp. Hauptlinien enthalten.

Mit der veränderten Größe des Winkels ändert ſich auch das Verhäͤltniß, bleibt aber bei allen möglichen Hauptlinien(Radien) für denſelben Winkel conſtant. Man nennt dieſes Verhält⸗ niß Tangente des Winkels und legt es in den Zeichen nieder:

AB EpP A6 Ec

Die Tangente eines Winkels iſt hiernach das Verhältniß des Radius zu einer dem Winkel gegenüberſtehenden Senkrechten, welche in dem Endpunkte des einen Schenkels errichtet iſt, und bis zum Endpunkte des andern reicht.

X

tang. x=

§. 3. Zuletzt iſt noch die veränderte Linie BC(Fig. 2) einer kurzen Betrachtung zu unterwerfen. Die Linie BC wächſt von AC an, wird alſo für einen beſtimmten Winkel x die Linie A C um gewiſſe Theile übertreffen. Daſſelbe läßt ſich von CD und CE behaupten. Da nun aus der Aehnlichkeit der Dreiecke AB C, EDC folgt, daß B C CD BCrAC= CD CE oder 276= ⸗ ſo geht hieraus hervor, daß AC eben ſo oft in BC, wie CE in CD enthalten iſt. Wird der Winkel größer oder kleiner, ſo wird es auch das Verhältniß; allein für denſelben Winkel bleibt es wieder unveränderlich. Ein ſolches Verhältniß wird Secante des Winkels ge⸗ nannt und ausgedrückt durch