Rezension Thaers!¹) ans Licht gezogen hat ²). Die weiteren Erfahrungen des Verf. er- scheinen nun hier, und aus verschiedenen Anzeichen glaube ich schliesen zu dürfen, dass jetzt der rechte Augenblick zur Einführung des Stabrechnens gekommen ist. An math. Schulbüchern nenne ich zunächst den Leitfaden von Bork und Genossen(Leipazig, Dürr 1897). Ferner ist zu nennen H. Fürle: ÜUber die Verwendung des Faberschen Rechenstabs zur Lösung quadrat. Gleichung. Progr.-Abh. der IX. städt. Realschule zu Berlin. 1898. Eine Erweiterung dieser Arbeit wird nach briefl. Mitteilung demnaächst als Programm-Abhdlg. derselben Anstalt erscheinen, worin der ganze Gegenstand so allgemein behandelt werden soll, dass er die früheren Resultate als spezielle Fälle umfaſst. Wir werden noch hierauf zurückkommen.

Den Schluts dieser Einleitung mõge ein kurzer historischer Uberblick über die Entwicklung des instrumentalen, insbesondere des graphischen Rechnens bilden.— Ein ehrwürdiges Alter haben die noch jetzt gelaufige Finger-Rechnung und die Rechnung aut dem Brette (Abakus). A. Schubert gibt in einer kleinen, lesenswerten Schrift ³) eine hübsche Uber- sicht über die historische Entwicklung der instrumentalen Operationen. Vor allem weist er nach, daſs der Abakus längst bei Chinesen, Agyptern und Griechen(pythagoreische Tafel) im Gebrauch war, ehe er bei den Römern Verbreitung fand. Auch das„Rechnen auf der Linien“ ist lediglich als Abzählen auf einem Abakus mit horizontalen(sonst verti- kalen) Linien aufzufaſsen. Erst ganz allmählich wurde das Brettrechnen durch das Ziffern- KRechnen verdrängt, zuerst in Ütalien, langsamer im Norden.¹) In Rufsland wird jetzt noch der alte Abakus von den Kaufleuten gern gebraucht. Bekannt ist der Kamptf zwischen den Abazisten und Algorithmikern in den jahren 1000 bis 1200; er wurde entschieden durch Lionardo von Pisa(Fibonacci), der 1225 in seinem Liber abaci den Algorithmikern, d. h. den Anhângern des indisch-arabischen Ziffern-Rechnens auf Grund des Stellenwertes der Ziffern, zum Siege verhalf.) Übrigens haben sich beide Rechnungsmethoden, die der„Linien“(Abakus) und der„Feder“(Ziffern) nebeneinander erhalten. Adam Riese, der bekannte Rechenmeister aus Staffelstein, lehrte noch 1550 in seinem Hauptwerke das Rechnen„auf den Linien“ vor dem„mit der Feder“. In gut geordneten Schulmeisterregeln bringt er die Methoden seiner Zeit vor, jeeoch ohne eigenartige Gedanken. Sein praktischer Blick zeigt sich in den Worten:„Ich habe befunden in Unter- weisung der Jugend, dass alleweg die, so auf den Linien anheben, des Rechnens fertiger und läufiger werden, denn so sie mit den Ziffern anfahen.“ Diese Erfahrung liegt selbst noch unserem heutigen Rechenunterrichte zu Grunde, denn er beginnt mit der von Pon- celet aus ruſsischer Kriegsgefangenschaft(1815) mitgebrachten Rechen-Maschine. ⁵)

¹) Sie hatte das vielgenannte Werk Esmarchs zum Gegenstande und ist sehr lesenswert. Ebenda Bd. 27. 1897. S. 594. Das abfällige Urteil über Kartonstäbe kann ich allerdings nicht teilen.

²) Die Teilungen auf den beigegebenen Figuren-Tafeln sind vom Lithographen von den Wichmannischen Karton-Teilungen abgenommen; dabei dienten die Figuren aus v. d. Heydens Abhandlung unter Vermeidung eines Fehlers zum Vorbilde; dort entsprechen sich nämlich die unteren und oberen Teilungen nicht genau.

²) Das Rechnen an den Fingern und Maschinen. No. 2 der allgemein verständlichen wissenschaftl. Ab- handlungen. Berlin, Riemann. 1888.

*) Verf. gibt hier den Inhalt eines Vortrags wieder, den er 1897 in der math. naturw. Abteilung des freien deutschen Hochstifts zu Frankfurt a. M.(Berichte des Hochstifts S. 1) gehalten hat.

*) Vergl. bei Cantor, Geschichte der Mathematik, die betr. Absechnitte.

*) Interessant ist wohl für Manchen die Thatsache, daß Poncelet(geb. 1788 in Metz) in Rußland auch die unfreiwillige Muse fand, einige Methoden der neueren Gcometrie auszubauen, z. B. die Methode der zentralen