17

Soll nun der Kreis in etwas allgemeinerer Lage projiziert werden, etwa so, daſs seine Ebene senkrecht zu E steht, zu E, aber unter 30° geneigt ist, so wendet man folgendes Verfahren an, das(wie oben S. 16 angedeutet) von groſsem Werte ist.

Denkt man zunächst wieder die Kreisebene in der nächst einfacheren Lage der Fig. 11 a projiziert, und dreht man dann den Kreis(im Raume) um den Durchmesser 3,7, soweit, bis seine Ebene die verlangte Neigung 30° zu E zeigt, dann beschreiben die Grundriſspunkte Kreisbögen von 30°, behalten dagegen ihre gegenseitige Lage bei wie es Fig. 11b zeigt. Ursprünglich hat man diese Figur mit I1 a zu vereinigen, so daſs M. und Ma zusammenfallen, da aber hierdurch die Auffassung der neuen Projektion nicht ganz unbeirrt bleibt, denkt man die zweite Projektion um eine beliebige Strecke nach rechts oder links verschoben.— Die Aufriſspunkte des Kreises in Fig. 11 a erleiden da- gegen bei der gedachten Drehung eine Verschiebung parallel zur X-Axe, wodurch sich einfache Orter für jeden neuen Aufriſspunkt ergeben, wenn bereits der neue Grundriſs festgelegt ist. Der Aufriſs 1 Fig. 11 b z. B. liegt senkrecht über dem Grundrisse l Fig. 11 b und zugleich auf der Parallelen durch den Aufriſs 1 in Fig. l1a zur X-Axe u. s. w.

Daſs die Aufriſsfigur eine Ellipse ist, kann bereits gesagt, aber erst dann er- wiesen werden, wenn man später im Systeme der Stereometrie zur Betrachtung der Zylinder- schnitte gelangt ist. ¹)

Die Bildung weiterer Aufgaben über den Kreis in verschiedenen Lagen bleibt dem Leser überlassen.

*§ 6. Die unbegrenzte Gerade. ²)

In den abgehandelten Abschnitten sind mit Absicht nur begrenzte Gebilde der Projektion unterworfen worden. Nachdem nun das Vorstellungsvermôgen hinreichend ge- kräftigt ist, wird man mit Nutzen zur Betrachtung unbegrenzter Gebilde schreiten. Hierbei ist es besonders zu empfehlen, vom Modelle auszugehen und die erkannten Beziehungen zuerst in schräger Parallel-Perspektive darzustellen, ehe man zur aufgeklappten Orthogonal- Projektion übergeht.

Die Lage einer Geraden(a) zu den Bildebenen ist im Raume am einfachsten bestimmt durch zwei ihrer Spuren mit den Bildebenen, in Fig. 12a z. B. durch A“ u. A“. Die Projektionen der Geraden müssen im allgemeinen selbst wieder Geraden sein. Der Grundriſs ist einerseits durch A', anderseits durch die Projektion eines beliebigen Punktes

¹) Ich halte es für erspriesslich, daß die Betrachtung der Kegelschnitte(und Zylinderschnitte) nach analytischer Methode erst dann begonnen wird, wenn diese Schnittlinien im stereometrischen Konstruktions-Unter- richte zur Erzeugung gekommen sind. Ihre Eigenschaft als planimetrische örter lassen sich dann leicht vermittels der Berührungskugeln ableiten. Es ist aber durchaus nicht ausgeschlossen, dass sich die analytische Behandlung ganz an die projektivische Erzeugung anschliesst. Vergleiche hierzu: Aug. Schmidt a. a. O. S. 75 und Uth(weil. Prof. in Wiesbaden): Die Ellipse als orthogonale Projektion des Kreises. Progr. 1885.

²) Wer es vorzieht, sofort zu einfachen Körpern überzugehen, kann diesen§ ohne Nachteil über- schlagen. Uberhaupt sind die mit Stern() versehenen§§ zum Verständnis der Haupt-Paragraphen nicht nötig.

3