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Den Zusammenhang stellt die Fig. 5 zunächst in schräger Parallel-Perspektive dar. Man erkennt, daſs das Viereck A BA., B, ein Trapez ist. Wird hierin AC I A, B gezogen, so stellt= BAC(a) die Neigung von AB zu E dar. Durch zweimalige Anwendung des Verfahrens von§ 3 erhält man die Projektionen im aufgeklappten Dreikant(Fig. 6).

Im Anschlusse hieran bieten sich noch folgende Aufgaben: Man soll: 1) Die Neigungswinkel der Strecke gegen die Bildebenen und 2) Die wahre Länge der Strecke konstruieren.

Um diese Aufgaben im aufgeklappten Dreikant zu lösen, hat man(für den Grundriſs) nur das Trapez A B A. B in Fig. 5 um die Axe A. B soweit zu drehen, dafs es mit E zusammenfällt(Umklappung). Die Ausführung der Konstruktion wird durch Fig. 7 versinnlicht. Hierin ist, verglichen mit Fig. 6:

A. A= 2)= A. X. B. B= 2.= B. X.

Wenn man die Umklappung in entsprechender Weise für Grundriſs und Profil ausführt, so wird die wahre Länge AB noch zweimal erhalten und auſserdem die bezüglichen Neigungswinkel(aa und aa).

Von groſsem Interesse sind noch die besonderen Lagen einer Strecke zu den Bildebenen, namentlich die senkrechten und parallelen Lagen. Hierbei genügt es, auſser der Länge der Strecke die Koordinaten eines Endpunktes zu geben und noch eine Be- dingung über die Richtung der Strecke hinzuzufügen. ¹)

Der UÜbergang zur Projektion eines Dreiecks, dessen Eck-Koordinaten gegeben sind, kann nach dem Vorhergehenden sofort bewerkstelligt werden. Fig. 8 gibt eine der- artige Zeichnung, die wohl durch sich selbst verständlich ist. Auch hier ist es leicht, durch Umklappen die Neigungswinkel der drei Seiten gegen die Bildebenen, sowie die wahre Länge der einzelnen Seiten, also auch die wahre Gestalt des Dreiecks zu finden.

Für das Quadrat soll ein einfacher Fall zur Erläuterung dienen: Gegeben sind die Koordinaten des Mittelpunktes M(Xo yo zo), die Seite(s) und die Bedingung, dass die Quadrat- ebene parallel E,, die Seiten aber parallel der X- und N-Axe laufen sollen.

Die Projektionen haben dann die Gestalt, wie Fig. 9 zeigt. Aus Xo yo zo sind die Koordinaten von A, B, C und D leicht zu bestimmen, wenn man noch s kennt. Ubrigens ist es am kürzesten, unmittelbar aus der Anschauung heraus die Lage der Projektionen zu bestimmen, wenn auch nur ein Punkt(M) nach üblicher Weise durch Koordinaten festgelegt ist. Denkt man sich nämlich das Auge über dem Quadrate und der Grundriſsebene, dann zeigt sich sofort, daſs der Grundriſs wiederum ein Quadrat sein muſs, das den Grundriſs des Mittelpunkts(M) zur Mitte hat. Beim Aufrisse hält man das Auge vor das Objekt und

¹) Die allgemeine Lage einer Strecke kann natürlich auch so bestimmt werden, daß die Koordinaten nur eines ihrer Punkte und außerdem noch ihre Länge und Richtung gegeben sind. Hier wird man nicht näher auf diese Frage eingehen.