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eindeutig bestimmt werden ¹). Dies geschieht am einfachsten(nach Cartesius) durch die 3 Abstände oder Koordinaten PPi, PPa u. PP, von den Bildebenen. Die letztere Strecke wird auch x-Koordinate oder kurz das x von P genannt, da sie parallel OX verläuft. Entsprechend bezeichnet man die übrigen Koordinaten als z bezw. y von P. Daſs P durch X, y, z eindeutig bestimmt ist, geht aus folgender Betrachtung hervor. Man hat nämlich drei stereometrische Orter für P:

1) Die Ebene im Parallelabstande x von der Profilebene;

2)„„„„ y„„ Aufriſsebene;

3)„„„„ 2„„ Grundebene.

Die ganze Betrachtung zeigt nun, daſs die Projektionen von P selbst wieder als Punkte erscheinen: Pi, Pe u. Pg, deren Eigenschaften aufzusuchen sind. Fällt man von P die Lote P. X u. Pi V nach Aufriſs- und Profilebene, so fallen dieselben in die Grundebene und es zeigt sich sofort, daſs PiVYV= x, und PiX= y. Somit ist die Lage von P. in der Grundebene durch zwei Orter eindeutig bestimmt: durch die beiden im Abstande x u. y zu OvY u. OX gezogenen Parallelen.

Ganz analog findet man Orter für P u. P, und erkennt schlieſslich, daſs OX= x, OVY= y, OZ= z. Diese Analyse führt nun auf die Betrachtung des Quaders OP, welcher allen folgenden Konstruktionen zu Grunde liegt. Ihm entnehmen wir zunàâchst noch das Datum: Durch eine Projektion sind zugleich die Koordinaten auf den Nachbaraxen bestimmt.

Weitere Fragen, welche sich hier anschliefsen, sind folgende: Wie gestalten sich die Verhältnisse,

1) wenn P auf Ei, Ez oder E, liegt? 2)„ P„ OX, OYV„ OZ. 7

Aufgaben:

1) Gegeben die Koordinaten eines Punktes, gesucht die Projektionen. 2) Gegeben der Grundriſs und die z-Koordinate, gesucht die anderen Projektionen. 3) Gegeben Grund- und Aufriſs, gesucht Profil.

Der Anblick des Projektions-Quaders OP gibt für alle derartigen Aufgaben einfache Analysen. Man konstruiert zunächst in der gewöhnlichen Weise(Siehe S. 6) mit Papp- scheiben und Stäben, also z. B bei Aufgabe No. 2: Ziehe durch P die Projektionslinien PiX u. PiVY und ziehe durch X und v die Parallelen zu OZz; schneide auf OZz das gegebene 2z ab.; zieht man durch Z die Parallelen zu OX u. OY bis zum Schnitte mit den vorigen Parallelen in P, u. Pa, so ist damit die Aufgabe gelöst. Als Probe können die Lote in Pi, Pz u. P; auf Ei, Ez u. Es dienen, deren gegenseitiger Schnitt in P liegen muſs ²).

¹) Vorläufig wird von einer Erweiterung des Dreikants, von der Betrachtung der Neben-, Scheitel- und Gegendreikante, also auch von der Einführung positiver und negativer Koordinaten abgesehen.

²) Während des Unterrichts in der Prima können an diese und andere Konstruktionen auch einfache

Rechnungen geknüpft werden. Erlers Einleitung in die analytische Geometrie u. s. w.(Berlin, Dümmler. 2. Aufl.) gibt hierzu einigen Stoff.