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Die Bildebene E kann nun die verschiedenartigsten Lagen annehmen. Hier sollen die einfachsten bevorzugt werden. Haält man z. B. E hinter den Körper parallel zur Fläche AEFB(DHGC) und blickt in der Richtung des Pfeiles Se in der oben angedeuteten Weise, so erhält man als Bild ein Rechteck, A Ea Fz Ba bezw. D. H. Ge Ce ¹). Somit erblickt man den Quader in einer anderen Ansicht, aufrecht vor uns stehend. Das letzte Bild heifst daher auch Aufriſs zum Unterschiede von jenem, welches aus naheliegenden Gründen Grundriſs²) genannt wird.

Da der Raum nach drei Hauptrichtungen ausgedehnt ist, liegt es nahe, den Quader nach einer dritten Richtung zu betrachten, welche zur Ebene der beiden ersten senkrecht steht. Blickt man in der Richtung Sa, so bietet sich als„Seitenrifse oder„Profil“ ein Rechteck B. F. Ga C(A E. H. Da) dar, wenn zugleich die Bildebene parallel BFGC(AEIHD) also auch senkrecht zu Sa gehalten wird.

Diese drei Projektionen oder Bilder sind ebene Figuren, und es ist einleuchtend, dafs die mathematische Phantasie aus ihrem Anblicke allein den Körper selbst heraus- konstruieren kann. So wird es nach einiger UÜbung nicht schwer fallen, aus der Gestaltung obiger 3 Rechtecke vor dem geistigen Auge die Gestalt des körperlichen Quaders heraus- wachsen zu lassen. In allen Rissen, Karten, Plânen ist die mathematische Phantasie in dieser oder in ähnlicher Weise thätig. Oft wird nicht einmal notig sein, die Bildebene in die drei Hauptlagen zu versetzen; es genügt wohl schon die Betrachtung des Grund- und Aufrisses oder des Grundrisses allein, um einen hinreichend klaren Einblick in die körper- lichen Verhältnisse zu gewinnen.

Die drei Hauptlagen der Bildebene(Ei, Ez, E in Fig. 2) bilden durch ihren gegen- seitigen Schnitt ein rechtwinkliges Dreikant(körperl. Ecke). Die Schnittaxe zwischen Ei und E soll stets mit OX bezeichnet werden, die anderen Axen mit OV und OZ. Diese Axen laufen parallel den vorher in Fig. 1 durch Pfeile angedeuteten Projektions-Richtungend).

Unsere ganze bisherige Untersuchung führt zur Frage: Wie vereinfachen wir die Betrachtung der orthogonalen Projektion?— Es liegt nahe, zunächst die geometrischen Gebilde in ihrer einfachsten Gestaltung vorzunehmen, etwa in der Reihenfolge: Punkt, Strecke, Dreieck, Vieleck, Kreis, Würfel, Quader, Polyeder, krummflächige Körper. Man stellt sich daher zunächst die Aufgabe, die Projektionen eines Punktes näher zu untersuchen.

§ 2. Der Punkt und seine Koordinaten.

In Fig. 3 treten die 3 Bildebenen, Grundriſs-, Aufriſs- und Profilebene, durch die 3 Axen hervor. Soll ein Punkt P projiziert werden, so muſs zunächst die Lage desselben

¹) Die Vervollständigung der Figur 1 ist dem Leser überlassen.

²) Vergleiche die Ausdrücke: Riß, Reißzeug, Reißbrett u. s. f.

²) Ich habe mich in den fundamentalen Entwickelungen einer Breite der Darstellung bedient, die vielen Kollegen als überflüssig erscheinen wird. Man möge berücksichtigen, daß die Abhandlung zugleich eine kleine „Lehrprobe“ sein soll nach den Grundsätzen der fragend-entwickelnden Methode.